Question

O professor Robinson, numa de suas aulas de Geometria, fez um experimento para saber a razão entre os diâmetros de duas bolinhas de gude de tamanhos diferentes. Primeiro, colocou a bola menor num recipiente cilíndrico graduado cheio de água e observou que o nível da água subiu 1,5 mm, e a segui, colocando a bola maior, observou que o nível de água subiu 12,0 mm.
O professor concluiu que a razão entre o diâmetro da balo maior e o diâmetro da bola menor é igual a:
a) 2
b) 3
c) 5
d) 6
e) 8

Considere: Ve = 4/3 (pi)r^3

Answer 1

Esse tal professor Robinson é um danadinho.

Volume do cilíndro:

    Vc = b . h

    b = área da base
    h = altura do cilindro

Volume da esfera:

    Ve = (4πr³)/3

    r = raio da esfera

Desenvolvimento:

Vc + Ve = b(h + a)
bh + (4πr³)/3 = b(h + a) 

a = alteração no nível do cilíndro

Para a bola menor, a = 1,5:

bh + (4πr³)/3 = b(h + 1,5)
bh + (4πr³)/3 = bh + 1,5b
3bh + 4πr³ = 3(bh + 1,5b)
3bh + 4πr³ = 3bh + 4,5b
4πr³ = 3bh - 3bh + 4,5b
4πr³ = 4,5b
r³ = (4,5b)/(4π)

r = ∛((4,5b)/(4π))

Para a bola maior, a = 12:

bh + (4πr³)/3 = b(h + 12)
bh + (4πr³)/3 = bh + 12b
3bh + 4πr³ = 3(bh + 12b)
3bh + 4πr³ = 3bh + 36b
4πr³ = 3bh - 3bh + 36b
4πr³ = 36b
r³ = (36b)/(4π)

r = ∛((36b)/(4π))

Dividindo o raio da bola maior pelo raio da bola menor:

raio da bola maior = ∛((36b)/(4π))
raio da bola menor = ∛((4.5b)/(4π))

∛((36b)/(4π)) / ∛((4.5b)/(4π))  = ∛8 = 2

A raíz cúbica de 8 é igual a 2. A razão entre o diâmetro da bola maior e o diâmetro da bola menor é 2. 

No desenvolvimento, fizemos o cálculo usando o raio das duas esferas. O raio equivale a metade do diâmetro. Assim, se tivéssemos usado o diâmetro desde o inicio, ou se tivéssemos multiplicado ambos os raios por 2 antes de fazer a divisão, teríamos chegado ao mesmo resultado.

Resposta a) 2