Question

O professor João, professor de matemática, foi passar o feriado de 7 de setembro na casa de seus pais onde tem uma quadra de vôlei improvisada, e teve a ideia de formular uma situação problema envolvendo função quadrática, conforme apresentado no gráfico abaixo. Ao lançar a bola verticalmente para o outro lado da rede, a mesma formou uma parábola, com distancia de 3 metro do chão, tocando no outro lado da rede em uma distancia de 4 metros, do que seria se estivesse no chão para o momento em que toca o chão do outro lado, como mostra a figura. Qual a lei de formação desta função e a altura máxima que a bola atinge?

Answer 1

A equação é $y(x)= -x^2 +2x + +3)$

O desafio deste problema é montar a equação com base nos dados da figura.

Algumas informações importantes que você precisa lembrar:

1) Na equação ax² + bx + c, o valor "c" determina a altura quando x=0

Neste problema, temos c = 3 (é o ponto no eixo y).

2) a função tem concavidade para baixo e por isso teremos -x²

(você pode ler mais sobre concavidade aqui: https://brainly.com.br/tarefa/47799433 )

3) se você conhece as raízes, você pode usar a regra da soma e produto.

Lembrando disso tudo podemos começar a resolver o problema:

Pela regra da soma e produto, teremos:

$y(x) = a\cdot(x-x_1)(x-x_2) = a(x^2 + b'x + c')$ onde $b'=x_1+x_2$ e $c'=x_1\cdot x_2$

Vamos começar pelas raízes.

As raízes dadas na figura são $x_1 = -1$ e $x_1 = +3$

Substituindo estes valores na equação acima, encontramos:

$y(x) = a\cdot(x-(-1))(x-(+3)) = a(x^2 + b'x + c')$

$y(x) = a\cdot(x+1)(x-3) = a(x^2 -2x + -3)$

Agora calcule o valor para x=0:

$y(0) = a(0^2 -2\cdot0 + -3)$

$y(0) = -3a$

Como a figura mostra que $y(0) = 3$ então o valor de $a$ tem que ser $a=-1$:

$y(0) = -3\cdot(-1)= 3$

E a equação geral fica escrita como:

$y(x) = -1\cdot(x+1)(x-3) = -x^2 +2x + +3)$