Question

O professor Antônio descobriu uma interessante propriedade relacionada ao inteiro x que representa sua idade. Ele contou para seus alunos que x2 é igual ao número de quatro algarismo abac e que x é dado pela soma ab+ac dos números de dois algarismos ab e ac. Determine o número x. 
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Answer 1

Por meio de analise dos algarismos, podemos facilmente notar que o professor tem 45 anos.

Explicação passo-a-passo:

Vamos analisar as informações:

x² = abac

Se a é o algarismo dos milhares, b das centenas, a novamente nas dezenas e c nas unidades, podemos reescrever este número destas forma:

x² = 1000a + 100b + 10a + c

x² = 1010a + 100b + c

E como:

x = ab + ac

x = 10a + b + 10a + c

x = 20a + b + c

Agora note, que "a" não pode ser nem 0, nem 1, pois se for 0 o número ao quadrado, não terá 4 algarismos, e se for 1 a idade dele ao quadrado também não terá quatro digitos. E percebamos também que todos os algarismos estão entre 0 e 9, e "a" está entre 2 e 9, então vamos começar testando com os menores possiveis:

a=2

b=0

x = 20a + b + c

x = 20.2 + 0 + c

x = 40 + c

x² = 1010.2 + 100.0 + c

x² = 2020  + c

Pegando o primeiro resultado ao quadrado:

x = 40 + c

x² = c² + 80c + 1600

Igualando com o segundo:

x² = c² + 80c + 1600

x² = 2020  + c

c² + 80c + 1600 = 2020  + c

c² + 79c - 420

Resolvendo esta equação temos como resultado c1 = 5, c2 = -84, mas como os algarismos estão entre 0 e 9, somente o primeiro resultado serve. Então descobrimos um valor possivel para o problema:

a=2

b=0

c=5

A idade do professor é então:

x = ab + ac

x = 20 + 25

x = 45

O professor tem 45 anos.