Matemática, perguntado por Julie1sachs, 1 ano atrás

O produto P = (√5 + √6 + √7) (√5 + √6 - √7) (√5 - √6 +√7) ( - √5 +√6 +√7) é igual a:

a) 100
b) 101
c) 102
d) 103
e) 104

Soluções para a tarefa

Respondido por robertocarlos5otivr9
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Seja \text{E} o valor dessa expressão.

Lembre-se que (a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2

Tomando a=\sqrt{5}+\sqrt{6} e b=\sqrt{7}, temos que:

(\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7})\cdot(\sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7})=(\sqrt{5}+\sqrt{6})^2-(\sqrt{7})^2

Veja que:

(\sqrt{5}+\sqrt{6})^2=(\sqrt{5})^2+2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}+(\sqrt{6})^2
(\sqrt{5}+\sqrt{6})^2=5+2\sqrt{30}+6
(\sqrt{5}+\sqrt{6})^2=11+2\sqrt{30}

Além disso, (\sqrt{7})^2=7. Assim:

(\sqrt{5}+\sqrt{6})^2-(\sqrt{7})^2=11+2\sqrt{30}-7
(\sqrt{5}+\sqrt{6})^2-(\sqrt{7})^2=4+2\sqrt{30}

Isto é,

(\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7})\cdot(\sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7})=4+2\sqrt{30}

Analogamente, tomando a=\sqrt{7} e b=\sqrt{5}-\sqrt{6}:

(\sqrt{7}+\sqrt{5}-\sqrt{6})\cdot(\sqrt{7}-\sqrt{5}+\sqrt{6})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5}-\sqrt{6})^2

Note que:

(\sqrt{5}-\sqrt{6})^2=(\sqrt{5})^2-2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}+(\sqrt{6})^2
(\sqrt{5}-\sqrt{6})^2=5-2\sqrt{30}+6
(\sqrt{5}-\sqrt{6})^2=11-2\sqrt{30}

Desse modo:

(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5}-\sqrt{6})^2=7-(11-2\sqrt{30})
(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5}-\sqrt{6})^2=7-11+2\sqrt{30}
(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5}-\sqrt{6})^2=-4+2\sqrt{30}

Ou seja,

(\sqrt{5}-\sqrt{6}+\sqrt{7})\cdot(-\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7})=-4+2\sqrt{30}

Logo:

\text{E}=(4+2\sqrt{30})\cdot(-4+2\sqrt{30})
\text{E}=(2\sqrt{30}+4)\cdot(2\sqrt{30}-4)

Utilizando novamente o produto notável (a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2, obtemos:

\text{E}=(2\sqrt{30})^2-4^2
\text{E}=2^2\cdot30-16
\text{E}=4\cdot30-16
\text{E}=120-16
\boxed{\text{E}=104}

\text{Alternativa E}
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