Question

O produto interno bruto (PIB) de certo pais foi de 90 bilhoes de dólares em 1990 e 135 bilhoes de dólares no ano de 2000. Supondo que o PIB esteja crescendo segundo a função C=Ae^kt, determine:

a) O valor do PIB em 2010;

b )Após quanto tempo o valor do PIB será de 180 bilhões;

Answer 1

O PIB será de 180 bilhões depois de 7 anos a partir do ano 2000, ou seja, em 2007.

O PIB é calculado de acordo com a fórmula

$C=Ae^{kt}$

onde:

C = PIB final (em bilhões de dólares)

A = PIB inicial (em bilhões de dólares)

e = número de Euler = 2,718281828

k = taxa de crescimento, constante para certa função

t = tempo, medido em anos

Primeiro, precisamos encontrar a taxa de crescimento desse PIB, ou seja, o valor de K:

$C=Ae^{kt}\\135=90e^{10k}\\ e^{10k}=\frac{3}{2}\\10k=\log{\frac{3}{2}}\\k=\frac{1}{10} \log{\frac{3}{2}}\\k=0.040547$

a) O PIB em 2010 será:

$C=135e^{0.040547 \times 10}\\C=202.501$

Portanto, em 2010, o PIB será de 202,501 bilhões de dólares.

b) O PIB será 180 milhões em:

$180=135e^{0.040547 \times t}\\135e^{\frac{40547t}{1000000}}=180\\\\e^{\frac{40547t}{1000000}}=\frac{4}{3}\\\\t=\frac{1000000 \log{\frac{4}{3}}}{40547}\\\\t=7,09503$

Portanto, o PIB será de 180 bilhões depois de 7 anos a partir do ano 2000 (ou seja, 2007).