Question

o produto dos n primeiros termos da PG (V2,2,2V2,4...) é igual a 2^39 qual é o valor de n?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Srtwalker, que a resolução, embora seja simples, mas é meio trabalhosa.
Tem-se que o produto dos "n" primeiros termos da PG abaixo é igual a 2³⁹:

(√2; 2; 2√2; 4; ...).

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

1) Antes veja que o produto dos "n" primeiros termos de uma PG é dado por (chamando o produto de "P"):

P = √[(a₁*an)ⁿ]         . (I)

ii) Como não sabemos quem é o "an" (que é o último termo), então vamos encontrá-lo pela fórmula do termo geral de uma PG, que é dado assim:

an = a₁*qⁿ⁻¹        . (II)

iii) Veja que a razão (q) da PG da sua questão é igual a √(2), pois a razão (q) de uma PG é constante e é encontrada pela divisão de cada termo consequente pelo seu respectivo antecedente, ou seja, temos que:

q = 4/2√(2) = 2√(2)/2 = 2/√(2) = √(2) <--- Esta é a razão da PG da sua questão.

iv) Agora vamos na expressão (II) para encontrarmos o último termo "an". A expressão (II) é esta:

an = a₁*qⁿ⁻¹ ----- substituindo-se a₁ por √(2) e "q" também por √(2), teremos:
an = √(2)*[√(2)]ⁿ⁻¹ ----- note que o termo √(2) que está sem expoente tem, na realidade, expoente igual a "1". É como se fosse assim:

an = [√(2)]¹*[√(2)]ⁿ⁻¹ ----- como aqui temos uma multiplicação de potências da mesma base, então a regra é esta: mantém-se a base comum e somam-se os expoentes. Então, teremos que:

an = [√(2)]ⁿ⁻¹⁺¹ ----- desenvolvendo, teremos que:
an = √(2)ⁿ  <---- Este é o valor do último termo.

iv) Agora que já temos o primeiro termo e o último termo, vamos aplicar o que deixamos lá na expressão (I), que é esta:

P = √[(a₁*an)ⁿ] ---- substituindo-se "a₁" por √(2) e "an" por √(2)ⁿ , teremos (foi aqui que só levamos em contra o "n" do "an" que havíamos encontrado. Agora vamos levar em conta o "n" da própria fórmula do produto). Fazendo isso, teremos:

P = √[√(2)*√(2ⁿ]ⁿ --- ou, o que é a mesma coisa:
P = √[√(2)*√(2ⁿ)]ⁿ ----- continuando o desenvolvimento, teremos:
P = √[√(2*2ⁿ)]ⁿ ---- note que o "2" que está sem expoente tem expoente "1". É como se fosse:

P = √[√(2¹*2ⁿ)]ⁿ ---- multiplicação de potências da mesma base. Regra: mantém-se a base comum e somam-se os expoentes. Logo:

P = √[√(2¹⁺ⁿ]ⁿ ---- agora note: √(2¹⁺ⁿ) = 2⁽¹⁺ⁿ⁾/² . Assim, ficaremos com:
P = √[2⁽¹⁺ⁿ⁾/²]ⁿ ---- note que o expoente  [(1+n)/2]ⁿ = (1+n)ⁿ/2 = (n+n²)/2 . Assim, ficaremos com:

P = √[2⁽ⁿ⁺ⁿ²⁾/²]

Agora note que: √[2⁽ⁿ⁺ⁿ²⁾/²] = 2⁽ⁿ⁺ⁿ²⁾/²/² = 2⁽ⁿ⁺ⁿ²⁾/²*² = 2⁽ⁿ⁺ⁿ²⁾/⁴. Logo:

P = 2⁽ⁿ⁺ⁿ²⁾/⁴

Mas como já foi dado que o produto é igual a 2³⁹ , então vamos substituir "P" por esse valor, ficando:

2³⁹ = 2⁽ⁿ⁺ⁿ²⁾/⁴ ----- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:

39 = (n + n²)/4 ---- multiplicando-se em cruz, teremos;
4*39 = n + n²
156 = n + n² ---- ordenando e passando "156" para o 2º membro, ficaremos assim:
0 = n² + n - 156 ---- ou, invertendo-se:
n² + n - 156 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes;

n' = - 13; e n'' = 12 ---- Mas como o número de termos não é negativo, então vamos ficar apenas com a raiz positiva e igual a:

n = 12 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor de "n" procurado.
 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.