Question

o produto dos dois termos de uma fração é 224. subtraindo 1 do denominador e adicionando 1 ao numerador, os dois termos ficam iguais. determine essa fração.

Answer 1

$Seja~~a~~fra{\c c}\~ao:~~~ \dfrac{a}{b} \\\\ O ~~produto~~de~~a.b=224\\\\ a+1=b-1\to~~isolando~~a:\\ a=b-1-1\to~~a=b-2\\\\ Ent\~ao:\\\\ \begin{cases}ab=224\\ a=b-2\end{cases} \\\\\\Por~~Substitui{\c c}\~ao:$



$ab=224\to~~(b-2).b=224\to~~b^2-2b-224=0\\\\ \Delta=b^2-4ac\to \Delta=(-2)^2-4.1.(-224)\to \Delta=4+896\to \boxed{\Delta=900}\\ \\\\ b= \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta} }{2a} \to~~ b= \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{900} }{2.1} \to~~ b= \dfrac{2 \pm 30 }{2} \to~~ \\\\\\ b'= \dfrac{2 + 30 }{2} \to~~ b'= \dfrac{32 }{2} \to~~\boxed{b'=16} \\\\b'= \dfrac{2 - 30 }{2} \to~~ b'= \dfrac{-28 }{2} \to~~\boxed{b'=-14}$



$a=b-2\\\\ a'=16-2\to~~\boxed{a'=14}\\a''=-14-2\to~~\boxed{a''=-16}\\\\\\\\ \large\boxed{\boxed{S=\{~(14;16)~;~(-16;-14)~\}}}$


Essa fração será:


$\large\boxed{ \dfrac{14}{16}}\\\\14+1=16-1\to~~15=15\\\\ 14.16=224$


Se for considerar os valores negativos:

$\boxed{ \dfrac{-16}{-14}}\\\\-16+1=-14-1\to~~-15=-15\\\\ (-14).(-16)=224$

Mas aqui no caso teria que eliminar o sinal negativo, pois - : - = +

então ficaria:  $\frac{16}{14}$ , porém sendo positivo não atende ao que o enunciado pede, pois se adicionar 1 no numerador e subtrair 1 no denominador, não teremos números iguais:

16 + 1 = 14 - 1 ---> 17 ≠ 13


Então a resposta para o exercício é a fração   $\dfrac{14}{16}$