O produto de quatro números em PG crescente é 32, O valor da soma dos quadrados dos extremos é 18. Determine o segundo termo dessa sequência
Soluções para a tarefa
O segundo termo dessa sequência é 8√2.
Sabemos que o termo geral de uma progressão geométrica é dado por aₙ = a₁.qⁿ⁻¹.
Como a progressão geométrica possui 4 termos, então temos a sequência (a₁, a₁.q, a₁.q², a₁.q³).
De acordo com o enunciado, o produto dos quatro termos é igual a 32, ou seja,
a₁.a₁.q.a₁.q².a₁.q³ = 32
a₁⁴.q⁶ = 32
q⁶ = 32/a₁⁴.
Além disso, a soma dos quadrados dos extremos é 18:
(a₁)² + (a₁.q³)² = 18
a₁² + a₁².q⁶ = 18.
Substituindo o valor de q⁶:
a₁² + a₁².32/a₁⁴ = 18
a₁² + 32/a₁² = 18
a₁⁴ + 32 - 18a₁² = 0
Resolvendo a equação, obtemos 4 valores para a₁: -4, -√2, √2 ou 4.
Se a₁ = -4, então q = 0,125 → (-4, -0,5, -0,0625, -0,0078125)
Se a₁ = -√2, então q = 8 → (-√2, -8√2, -64√2, -512√2)
Se a₁ = √2, então q = 8 → (√2, 8√2, 64√2, 512√2)
Se a₁ = 4, então q = 0,125 → (4, 0.5, 0.0625, 0.0078125).
Como a PG é crescente, então a₁ = √2 e q = 8.
O segundo termo será 8√2.