Question

O produto de dois números naturais é 12, e a soma de seus quadrados é 25.
1- Qual é o quadrado da soma desses números ?
2- Quais são esses números?

Answer 1

há três combinação de produto de dois números que dão 12: 
1 x 12; 
2 x 6; e 
3 x 4 

A soma dos quadrados destes números é: 
1 x 12 ~~~ 1 + 144 = 145 
2 x 6 ~~~ 4 + 36 = 40 
3 x 4 ~~~ 9 + 16 = 25!! 

Os números são 3 e 4 
O quadrado da soma destes números é: (3 + 4)² = 7² = 49
x²+y² =25 
x.y =12 
x=12/y 
x=12/3 
x=4 
y=12/x 
y=12/4 
x=3 
4²+3²=25 
16+9=25 
25=25

Answer 2

Sejam dois números naturais x e y.
xy = 12
x²+y² = 25

1- O quadrado da soma baseia-se no produto notável (x+y)² = x²+2xy+y².
Reorganizando os termos, temos x²+y²+2xy = 25+2·12 = 25+24 = 49.

2- Acabamos de provar que (x+y)² = 49, logo, x+y = +-√49 ∴ x+y = +-7. Como x e y são naturais, x+y = 7, excluindo o resultado negativo.
$\left \{ {{x+y=7} \atop {xy=12}} \right.$

Substituindo x = 7-y na segunda equação, temos:
(7-y)·y = 12 ⇒ -y²+7y-12 = 0

Δ = 7²-4·(-1)·(-12)
Δ = 49-48
Δ = 1

y = (-7+-√1)/2·(-1)
y = (-7+-1)/-2
y = -6/-2 = 3 ou y = -8/-2 = 4.

Se y = 3, x = 7-y = 7-3 = 4
Se y = 4, x = 7-y = 7-4 = 3.
Logo, os números são 3 e 4.