Question

 O produto de dois números, não negativos, é 288. Quais são os números para que a soma do segundo com o dobro do primeiro seja MÍNIMA ?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Claudio, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que o produto de dois números não negativos é igual a 288. São pedidos os valores desses números para que a soma do segundo com o dobro do primeiro seja MÍNIMA.

ii) Antes veja que se você fatorar o número 288 vai encontrar que:

288 = 2⁵ * 3²

ii) Agora veja isto não esqueça mais: a quantidade de divisores de qualquer número será dada pelo produto dos expoentes dos seus fatores primos aumentados de uma unidade cada um dos expoentes. No caso do número 288, note que os fatores primos são estes:

288 = 2⁵ * 3²

Então vamos somar uma unidade ao expoente "5", ficando (5+1) e vamos somar uma unidade ao expoente "2", ficando (2+1). E vamos multiplicar os expoentes assim somados. Logo, a quantidade de divisores de 288, que chamaremos de D(288) será dada por:

D(288) = (5+1)*(2+1)

D(288) = (6)*(3)

D(288) = 18 <--- Esta é a quantidade de divisores do número 288.

iii) E veja como isso é verdade, pois os seus divisores são estes, chamando esses divisores de um certo "n":

n = 1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 16; 18; 24; 32; 36; 48; 72; 96; 144; 288 <--- Pode contar que são exatamente 18 divisores.

Assim, poderemos ter as seguintes hipóteses entre esses dois números cujo produto dá 288:

1*288; 2*144; 3*96; 4*72; 6*48; 8*36; 9*32; 12*24; 16*18.

Verificando os números dados aí em cima, você já deve ter notado que a menor soma será dada pelo par "12 e 24" (note que 12+24 = 36 e essa é a menor soma). E se essa é a menor soma, então a soma do valor do segundo com o dobro do primeiro também será mínima. Assim, esses dois números serão:

12 e 24 <--- Esta é a resposta.

E note que sendo os números "12" e "24" cuja soma dá 36, iremos encontrar também a soma mínima quando somarmos o segundo com o dobro do primeiro. Veja: 24 + 2*12 ---> 24 + 24 = 48. Observe que em todos os outros pares possíveis o que tem a menor soma são exatamente "12" e "24". Por isso é que a resposta é a que demos aí em cima.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.