Question

o produto de dois números inteiros e positivos resulta em 64.Quais são esses números ,sabendo que sua soma resulta no menor valor possível ?

Answer 1

xy = 64
x + y = z
Devemos estabelecer uma relação entre x e y: 
y = $\frac{64}{x}$
logo, substituímos na adição o valor de y:
x + $\frac{64}{x}$ = z
Tirando o MMC:
z = $\frac{ x^{2} + 64 }{x}$
Derivamos esta função, e em seguida, efetuamos a analise do sinal da z'(x)
z'(x) = $\frac{ x^{2} - 64}{ x^{2} }$
Fazemos o estudo do sinal dessa função:
x² - 64 > 0 para x > 8 ou x < -8 
como números negativos não nos interessam, concentremos nossa atenção ao ao ponto x = 8
como pela esquerda do 8, z'(x) < 0 e pela direita do 8, z'> 0, o 8 é um ponto de mínimo
então, substituindo 8 na expressão original temos:
8y = 64, y = $\frac{64}{8}$ = 8 
Os números são 8 e 8

Answer 2

1-Apenas complementando a resposta acima, que ficou vaga e com "adivinhação", segue abaixo:

X x Y = 64

X + Y = Z

2-Isolamos o Y para achar a relação com X e substituímos na fórmula de Z:

Y=64/X >> Z = X + 64/X

3-Para acharmos o Z, que é o valor mínimo, temos que derivar a equação conforme abaixo:

Z = X + 64/X

Z = X + 64.X-¹ (simplificando a expressão acima para derivar abaixo)

Z'= 0 - 64/X²

4-Existe uma relação entre uma soma e uma multiplicação: O resultado de uma soma de 2 números (x e y), se subtraído de x é igual a Y. Assim como na multiplicação desses mesmos dois números (x e y), seu resultado, se dividido por x é igual a Y. Nesse caso há uma relação nessas duas equações, logo podemos igualá-las:

Z' - 64/X = 64 / X Substituindo o Z' temos:

-64/X² - 64/X= 64/X

-64/X² = 64/X + 64/X

-64/X² = 128/X

5-Se os dois valores são iguais, podemos substituir Z por 128/X na equação de soma e isolar X:

X+64/X = 128/X

X = 128/X - 64/X

X = 64/X

X² =64 = raíz64 = 8

6-Substituindo na fórmula sabemos que X e Y são 8

X = 8

Y = 64/X = 8