Question

O produto das três primeiras soluções reais positivas da equação cotg x + cossec x = sen x é:

Por favor me ajudem

Answer 1

Primeiramente, vamos lembra que $cotg(x) = \frac{cos(x)}{sen(x)}$ e que $csc(x)= \frac{1}{sen(x)}$.

Então, temos que:

$\frac{cos(x)}{sen(x)} + \frac{1}{sen(x)} = sen(x)$
$\frac{cos(x)+1}{sen(x)} = sen(x)$
$cos(x)+1=sen^2(x)$

Sabendo também que $sen^2(x) + cos^2(x) = 1$, então,

$cos(x)+1=1-cos^2(x)$
$cos^2(x)+cos(x)=0$
cos(x)(cos(x) + 1) = 0

Temos dois casos:

1°) cos(x) = 0

O cosseno será igual a 0 quando $x = \frac{\pi}{2}$ ou $x= \frac{3\pi}{2}.$

2°) cos(x) + 1 = 0
cos(x) = -1

O cosseno será igual a -1 quando x = π 

Portanto, o produto das três primeiras soluções positivas será igual a:

$\frac{\pi}{2}. \frac{3\pi}{2}. \pi = \frac{3\pi^3}{4}$