Question

O produto das raízes positivas da equação $4 x^{4} - 17x^{2} +18 = 0$ é

Answer 1

O produto das raízes positivas da equação  é

y = x²

4x⁴ - 17x² + 18 = 0
4y² - 17y + 18 = 0
a = 4
b = -17
c = 18
Δ = b² - 4ac
Δ = (-17)² - 4(4)(18)
Δ = 289 - 288
Δ = 1-----------------------------------√1 = 1

se Δ > 0
então

y = - b - + √Δ/2a

y' = - (-17) - √1/2(4)
y' = + 17 - 1/8
y' = 16/8
y' = 2

y" = -(-17) + √1/2(4)
y" = + 17 + 1/8
y" = 18/8

assim
para  y = 2
y = x²
x² = y
x² = 2
x = - + √2
x' = - √2  (DESPEREZAMOS) porque somente raízes POSITIVAS 

x" = + √2 

para  y = 18/4

y = x²
x² = y
x² = 18/8

x = - + √18/8    

x"'= - √18/8  (desprezamos) (negativo)

x"" = + √18/8

O produto das raízes positivas da equação é
produto(multiplicação)

raizes : √2 e √18/8

(√2)(√18/8)

         √18        (√2)(√18)          √2(√18):  √2        √18              3√2
(√2)(-----)  =  --------------- =  ----------------- =   ------------- =  -------
         √8            2 √2                     2√2  : √2           2                  2


√18     fatorar 18| 2
                         9|3  
                        3| 3
                         1/

√18 = √2.3.3  = √2.3² = 3√2    (elimina a √ com o (²)) 

fatorando √8   8| 2
                       4| 2
                       2|2
                       1/
√8 = √2.2.2 = √2.2² = 2√2

o produto da equação é : 3√2/2


refazendo para VERIFICAÇÃO ( SEM simplificação)

√2(√18/√8)

       √18           √2√18       √2.18       √36
√2(---------) =   --------   = --------- =  ------
         √8              √8             √8           √8   como não devemos deixar √ não DENOMINADOR


√36√8     √36.8      √288         fatorar 288| 2
--------= --------  = --------                    144| 2  
√8√8       √8²            8                          72| 2
                                                             36| 2
                                                             18| 2
                                                               9| 3
                                                               3| 3
                                                                1/

√288 = √2.2.2.2.2.3.3  = √2².2²2.3² = 2.2.3√2 = 12√2

então

√288    12√2           12√2 :4       3√2
------- = -------  = ------------- =   -------
  8           8                 8   : 4         2
         

Answer 2

 Fatorando,

$4x^4-17x^2+18=0\\4x^4-8x^2-9x^2+18=0\\4x^2(x^2-2)-9(x^2-2)=0\\(x^2-2)(4x^2-9)=0\\(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(2x+3)(2x-3)=0$
 
 Como podemos notar as raízes são: $\pm\,\sqrt{2}$ e $\pm\,\frac{3}{2}$
  
 Daí,

$\sqrt{2}\times\frac{3}{2}=\\\\\boxed{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$