Question

O produto das raízes da equação log (x2 -7x+14) = 2log 2 é:​

Answer 1

Temos a seguinte expressão:

$\sf log(x {}^{2} - 7x + 14 ) = 2log(2)$

Primeiramente, vamos usar a propriedade de trazer o expoente para a frente do Log.

$\boxed{\sf log_{a}(b) {}^{n} = n log_{a}(b) }$

Aplicando:

$\sf log(x {}^{2} - 7x + 14) = log(2) {}^{2} \\ \sf log(x {}^{2} - 7x + 14 ) = log(4)$

Agora devemos usar outra propriedade, dessa vez é a de igualdade de Log's, essa propriedade diz que:

• Quando temos dois Log's em uma igualdade, ambos em membros distintos, se a base é igual, podemos dizer que os logaritmandos são iguais.

Algebricamente:

$\begin{cases} \sf log_{k}( A ) = log_{k}(B) \\ \sf A = B \end{cases}$

Aplicando:

$\sf log(x {}^{2} - 7x + 14) = log(4) \\ \\ \sf x {}^{2} - 7x + 14 = 4 \\ \sf x {}^{2} - 7x + 14 - 4 = 0 \\ \boxed{\sf x {}^{2} - 7x + 10 = 0}$

Agora vamos resolver essa equação do segundo grau:

$\sf x {}^{2} - 7x + 10 = 0 \\ \\ \sf\ast \: coeficientes : \begin{cases} \sf a = 1 \\ \sf b = - 7 \\ \sf c = 10 \end{cases} \\ \\ \sf bh \acute{a}sakara : \\ \sf x = \frac{ - b \pm \sqrt{b {}^{2} - 4 .a.c} }{2.a} \\ \\ \sf x = \frac{ - ( - 7) \pm \sqrt{( - 7) {}^{2} - 4.1.10} }{2.1} \\ \\ \sf x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40} }{2} \\ \\ \sf x = \frac{7 \pm \sqrt{9} }{2} \\ \\ \sf x = \frac{7 \pm3}{2} \rightarrow \begin{cases} \sf x_1 = \frac{7 + 3}{2} \\ \sf x_ 1 = \frac{10}{2} \\ \boxed{ \sf x _ 1 = 5} \\ \\ \sf x _ 2 = \frac{7 - 3}{2} \\ \sf x_ 2 = \frac{4}{2} \\ \boxed{ \sf x_ 2 = 2} \end{cases}$

Portanto o produto das raízes é:

$\boxed{\sf Produto = 5.2 = 10}$

Outra forma de encontrar o produto, era usar a própria fórmula do produto, dada por:

$\sf P = \frac{c}{a}$

Substituindo os dados:

$\sf P = \frac{10}{1} \\ \boxed{\sf P = 10}$