Question

O produto das raizes da equacao √2x²+1-√x²-3=2 é igual a:

Answer 1

Definição de módulo:

$\sqrt{k^{2}}=|k|=\begin{cases}~~k,~~se~k\ge0\\-k,~~se~k~\textless~0\end{cases}$
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$\sqrt{2x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-3}=2$

Temos que isolar um radical em um dos lados, para que esse seja cancelado ao elevar os dois lados da equação ao quadrado.

Isolando o primeiro radical no lado esquerdo:

$\sqrt{2x^{2}-1}=2+\sqrt{x^{2}-3}$

Elevando os dois lados da equação ao quadrado:

$(\sqrt{2x^{2}+1})^{2}=(2+\sqrt{x^{2}-3})^{2}\\\\|2x^{2}+1|=2^{2}+2\cdot2\cdot\sqrt{x^{2}-3}+(\sqrt{x^{2}-3})^{2}\\\\|2x^{2}+1|=4+4\sqrt{x^{2}-3}+|x^{2}-3|$

Agora, veja que x² ≥ 0 para qualquer x real. Portanto, 2x² ≥ 0 para todo x real, e, por consequência, 2x² + 1 ≥ 0 para todo x real. Então, temos que |2x² + 1| = 2x² + 1

Então, nossa equação fica da seguinte maneira:

$2x^{2}+1=4+4\sqrt{x^{2}-3}+|x^{2}-3|\\\\\boxed{\boxed{2x^{2}-3=4\sqrt{x^{2}-3}+|x^{2}-3|}}$

Por outro lado, x² - 3 não é sempre positivo (o gráfico de x² - 3 é uma parábola que retorna valores negativos quando x está entre as raízes). Portanto:

$|x^{2}-3|=\begin{cases}~~~x^{2}-3,~~~~~se~x^{2}-3\ge0\\-(x^{2}-3),~~~se~x^{2}-3~\textless~0\end{cases}$

Então, vamos verificar a equação encontrada para as duas possíveis situações

Se |x² - 3| = -(x² - 3)   (caso onde x² - 3 < 0):

$2x^{2}-3=4\sqrt{x^{2}-3}+|x^{2}-3|\\\\2x^{2}-3=4\sqrt{x^{2}-3}-(x^{2}-3)\\\\2x^{2}-3=4\sqrt{x^{2}-3}-x^{2}+3\\\\2x^{2}+x^{2}-3-3=4\sqrt{x^{2}-3}\\\\3x^{2}-6=4\sqrt{x^{2}-3}$

Novamente, elevando ambos lados ao quadrado:

$(3x^{2}-6)^{2}=(4\sqrt{x^{2}-3})^{2}\\\\(3x^{2})^{2}-2\cdot3x^{2}\cdot6+6^{2}=16|x^{2}-3|\\\\(3x^{2})^{2}-36x^{2}+36=-16(x^{2}-3)\\\\9(x^{2})^{2}-36x^{2}+36=-16x^{2}+48\\\\9(x^{2})^{2}-36x^{2}+16x^{2}+36-48=0\\\\9(x^{2})^{2}-20x^{2}-12=0$

Vamos resolver essa equação biquadrada, considerando x² como variável (caindo em uma equação quadrática)

$\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=(-20)^{2}-4\cdot9\cdot(-12)\\\Delta=400+432\\\Delta=832\\\Delta=2^{6}\cdot13~~~~(fatorado)\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{64}\cdot\sqrt{13}\\\sqrt{\Delta}=8\sqrt{13}\\\\x^{2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-20)\pm8\sqrt{13}}{2\cdot9}=\dfrac{20\pm8\sqrt{13}}{2\cdot9}=\dfrac{10\pm4\sqrt{13}}{4}$

10 - 4√13 é um número negativo, logo, sua raiz quadrada não pertence ao conjunto dos reais. Trabalhando nos reais, desconsideraremos as raízes complexas

Então, as raízes são

$x=\pm\sqrt{\dfrac{10+4\sqrt{13}}{9}}$
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Agora, caso |x² - 3| ≥ 0, temos

$2x^{2}-3=4\sqrt{x^{2}-3}+|x^{2}-3|\\\\2x^{2}-3=4\sqrt{x^{2}-3}+x^{2}-3\\\\2x^{2}-3-x^{2}+3=4\sqrt{x^{2}-3}\\\\x^{2}=4\sqrt{x^{2}-3}$

Elevando os dois lados ao quadrado:

$(x^{2})^{2}=(4\sqrt{x^{2}-3})^{2}\\(x^{2})^{2}=16|x^{2}-3|\\(x^{2})^{2}=16(x^{2}-3)\\(x^{2})^{2}=16x^{2}-48\\(x^{2})^{2}-16x^{2}+48=0$

Essa é uma equação biquadrada, e podemos resolvê-la por Bhaskara tomando x² como variável

$\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=(-16)^{2}-4\cdot1\cdot48\\\Delta=256-192\\\Delta=64\\\\x^{2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-16)\pm\sqrt{64}}{2\cdot1}=\dfrac{16\pm8}{2}=8\pm4$

Então:

$(x')^{2}=8+4=12=2^{2}\cdot3~~~~\therefore~~~~x'=\pm\sqrt{12}\\\\\\(x'')^{2}=8-4=4~~~~\therefore~~~~x''=\pm\sqrt{4}=\pm2$
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Então, temos as seguintes possibilidades para raízes da equação:

$x=\pm\sqrt{\dfrac{10+4\sqrt{13}}{9}},~~x=\pm\sqrt{12},~~x=\pm2$

Vamos verificar se todos são, de fato, soluções da equação inicial:

x = - √((10 + 4√13) / 9), x = √((10 + 4√13) / 9):

$\sqrt{2(\pm\sqrt{\frac{10+4\sqrt{13}}{9}})^{2}+1}-\sqrt{(\pm\sqrt{\frac{10+4\sqrt{13}}{9}})^{2}-3}=2\\\\\\\sqrt{(\frac{10+4\sqrt{13}}{9})+1}-\sqrt{\frac{10+4\sqrt{13}}{9}-3}=2\\\\\\\sqrt{(\frac{10+4\sqrt{13}+9}{9})}-\sqrt{\frac{10+4\sqrt{13}-27}{9}}}=2\\\\\\\frac{\sqrt{19+4\sqrt{13}}}{3}-\frac{\sqrt{-17+4\sqrt{13}}}{3}=2$

Isso é falso, já que - 17 + 4√13 é negativo e, portanto, a raiz não existe no conjunto dos reais. Logo, essas possibilidades são descartadas da solução

x = - √12, x = √12:

$\sqrt{2(\pm\sqrt{12})+1}-\sqrt{(\pm\sqrt{12})^{2}-3}=2\\\\\sqrt{2\cdot12+1}-\sqrt{12-3}=2\\\\\sqrt{24+1}-\sqrt{9}=2\\\\\sqrt{25}-\sqrt{9}=2\\\\5-3=2\\\\2=2$

x = - 2, x = 2:

$\sqrt{2(\pm2)^{2}+1}-\sqrt{(\pm2)^{2}-3}=2\\\\\sqrt{2\cdot4+1}-\sqrt{4-3}=2\\\\\sqrt{8+1}{-\sqrt{1}=2\\\\\sqrt{9}-1=2\\\\3-1=2\\\\2=2$

Então, os quatro valores são raízes da equação

Portanto, o produto das raízes da equação é:

$P=(-2)\cdot(-\sqrt{12})\cdot2\cdot\sqrt{12}\\\\P=2\cdot2\cdot\sqrt{12}\cdot\sqrt{12}\\\\P=4\cdot12\\\\\boxed{\boxed{P=48}}$