Question

O produto das medidas dos segmentos determinados
sobre duas cordas secantes numa circunferência de
9 dm de raio é igual a 72 dm2. Quanto vale a distância
do centro da circunferência ao ponto de intersecção
desses segmentos?​

Answer 1

A distância do centro da circunferência ao ponto de interseção desses segmentos é √153 dm.

Considere que as secantes à circunferência são AB e CD, como mostra a figura abaixo.

Além disso, considere que o ponto de interseção entre essas secantes é igual a P.

Considere, também, que T é o ponto de tangência do segmento TP com a circunferência.

É verdade que PA.PB = PC.PD = TP².

Como o produto das medidas dos segmentos é igual a 72, então podemos afirmar que TP² = 72.

Também é válido que TP² = d² - r², sendo d a distância de um ponto ao centro da circunferência de raio r, ou seja, a distância entre P e O.

O raio da circunferência mede 9 dm. Sendo assim:

72 = d² - 9²

72 = d² - 81

d² = 153

d = √153 dm.