Question

o produto das idades de tres amigas adolescentes (entre 12 e 19 anos) corresponde a 4080 anos. A soma de suas idades, em anos seria?

Answer 1

Vamos resolver sem usar tentativa e erro e sem recorrer ao fato que seja uma questão de multipla escolha. 

Vamos usar só o enunciado da questão (e o fato que idades são medidas por numeros inteiros). 

Fatoremos 4080. Temos: 

4080 = (2^4).3.5.17 

Portanto uma das idades deve conter o fator 17, o seja, ser múltipla de 17, mas o único múltiplo de 17 entre 12 e 19 é o próprio 17. Logo uma das idades é 17. 

Uma outra idade deve conter o fator 5, ou seja ser múltipla de 5, mas o único múltiplo de 5 entre 12 e 19 é 15. Logo, se o problema tiver solução, esta segunda idade deve ser 15. Note que 15 é o produto de dois fatores primos de 4080: 3 e 5. 

Por conseqüencia, a terceira idade tem que ser formada pelos fatores primos restantes, ou seja, tem que ser 16 e como 16 satisfaz a condição de estar entre 12 e 19, temos que a solução realmente é 15, 16 e 17. 

Observe que provamos que 15, 16 e 17 formam o ÚNICO conjunto de idades satisfazendo as condições do enunciado do problema. 

A soma das idades é portanto: 48 .