O processo utilizado para se determinar o número de dimensões de um determinado conjunto, apesar de não ser complexo, demanda certa atenção e conhecimentos sobre soma e multiplicação de vetores, em seu sentido mais amplo.
Considerando os conhecimentos sobre matrizes e espaços vetoriais, julgue as afirmações sobre a matriz abaixo.
I) Se a = 1, b = 4 e c = 3, então a dimensão desta matriz será um.
II) Se a = 1, b = 2 e c = 3, então a dimensão desta matriz será dois.
III) Se a = 1, b = 1 e c = 1, então a dimensão desta matriz será três.
IV) Se a = 0, b = 4 e c = 3, então a dimensão desta matriz será três.
Texto elaborado pelo Professor, 2018.
Estão corretas:
Alternativas
Alternativa 1:
I, II, III e IV.
Alternativa 2:
I, II e III, apenas.
Alternativa 3:
I, II e IV, apenas.
Alternativa 4:
II, III e IV, apenas.
Alternativa 5:
I, III e IV, apenas.
Soluções para a tarefa
Olá!
Para resolver essa questão, vamos analisar cada afirmativa.
I) VERDADEIRO Como os valores de a, b e c foram dados (1, 4, 3 respectivamente ) teremos os seguintes vetores v₁ = (1,2,1), v₂ = (2,4,2) e v₃ = (3,6,3) linearmente dependentes.
Com isso, o conjunto {v₁}, é Linearmente Independente, base para a matriz de dimensão 1.
II) VERDADEIRO Os vetores v₁ = (1,2,1) e v₃ = (3,6,3) são múltiplos e v₂ = (2,2,2), de modo que a dimensão é igual a 2.
III) VERDADEIRO Os vetores v₁ = (1,2,1), v₂ = (2,1,2) e v₃ = (3,6,1) são Linearmente Independentes, uma base é {v₁, v₂, v₃} de dimensão 3.
IV) FALSO Os vetores v₁ = (0,2,1), v₂ = (2,4,2) e v₃ = (3,6,3), com v₂ e v₃ Linearmente Dependentes, a base poderia ser o conjunto {v₁, v₂} de dimensão 2.
Assim, as afirmativas corretas são: I, II e III.