Question

O processo utilizado para se determinar o número de dimensões de um determinado conjunto, apesar de não ser complexo, demanda certa atenção e conhecimentos sobre soma e multiplicação de vetores, em seu sentido mais amplo.
Considerando os conhecimentos sobre matrizes e espaços vetoriais, julgue as afirmações sobre a matriz abaixo.

$\left[\begin{array}{ccc}a&2&3\\2&b&6\\1&2&c\end{array}\right]$

I) Se a = 1, b = 4 e c = 3, então a dimensão desta matriz será um.
II) Se a = 1, b = 2 e c = 3, então a dimensão desta matriz será dois.
III) Se a = 1, b = 1 e c = 1, então a dimensão desta matriz será três.
IV) Se a = 0, b = 4 e c = 3, então a dimensão desta matriz será três.

Texto elaborado pelo Professor, 2018.

Estão corretas:

Alternativas

Alternativa 1:
I, II, III e IV.

Alternativa 2:
I, II e III, apenas.

Alternativa 3:
I, II e IV, apenas.

Alternativa 4:
II, III e IV, apenas.

Alternativa 5:
I, III e IV, apenas.

Answer 1

Vamos analisar cada afirmativa.

I) De acordo com os valores de a, b e c temos os vetores v₁ = (1,2,1), v₂ = (2,4,2) e v₃ = (3,6,3).

Perceba que os vetores são Linearmente Dependentes.

Logo, o conjunto {v₁}, por exemplo, é Linearmente Independente, é uma base para a matriz e possui dimensão 1.

II) Temos agora os vetores v₁ = (1,2,1), v₂ = (2,2,2) e v₃ = (3,6,3).

Os vetores v₁ e v₃ são múltiplos. Então uma base pode ser o conjunto {v₁, v₂} e a dimensão é igual a 2.

III) Temos os vetores v₁ = (1,2,1), v₂ = (2,1,2) e v₃ = (3,6,1).

Como os três vetores são Linearmente Independentes, então uma base é {v₁, v₂, v₃} e a dimensão é igual a 3.

IV) Temos os vetores v₁ = (0,2,1), v₂ = (2,4,2) e v₃ = (3,6,3).

Como v₂ e v₃ são Linearmente Dependentes, então uma base pode ser o conjunto {v₁, v₂} cuja dimensão é 2.

Portanto, as afirmativas corretas são: I, II e III.