Question

O primeiro termo de uma PA é 17 e o ultimo 73, essa sequencia tem razao inteira r>1 e possui 38 como elemento. Se n representa o numero de termos dessa PA, a soma (n+r) vale?
A) 17 b) 18 c) 15 d) 14 e) 16

Answer 1

Vamos lá.

Bem, Julinha, então vamos fazer como acabamos de considerar.

Tem-se que uma PA, de razão inteira maior do que "1" (r > 1), tem o primeiro termo (a₁) igual a 17 e o último termo (an) igual a 73. Além disso, sabe-se que o termo "38" é um termo qualquer dessa PA, digamos que seja o termo de ordem "x". Então teremos que: aₓ = 38.
Pede-se, portanto, a soma S = n+r , ou seja, pede-se a soma do número de termos MAIS a razão.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos aplicar a fórmula do termo geral,considerando-se o primeiro e último termos, que é dada assim:

an = a₁ + (n-1)*r

Na fórmula acima, substituiremos "an" por "73" e substituiremos "a₁" por 17.
Com isso, ficaremos assim:

73 = 17 + (n-1)*r ---- passando-se "17" para o 1º termo, teremos:
73 - 17 = (n-1)*r
56 = (n-1)*r ---- vamos apenas inverter, ficando:
(n-1)*r = 56    . (I)

ii) Agora vamos para o termo de ordem "x" (aₓ), que é igual a 38. Então teremos isto, ao aplicarmos a fórmula do termo geral:

aₓ = a₁ + (x-1)*r ------ substituindo-se "aₓ" por 38 e "a₁" por 17 teremos:
38 = 17 + (x-1)*r ---- passando-se "17" para o 1º membro, teremos;
38 - 17 = (x-1)*r
21 = (x-1)*r ----- ou, invertendo-se, teremos:
(x-1)*r = 21    . (II)

iii) Agora veja: se temos que (x-1)*r = 21 , então teremos as seguintes possibilidades: ou (x-1) = 7 e r = 3 (pois 7*3 = 21) ou (x-1) = 3 e r = 7 (pois 3*7 = 21). Ora, então vamos na expressão (I) acima e vamos ver se teremos número inteiro tanto para "n" , pois "n" terá que ser um número inteiro mesmo (não há número de termos que não seja inteiro).

Note que a expressão (I) é esta:

(n-1)*r = 56

iii.a) Para r = 3, teremos:

(n-1)*3 = 56
(n-1) = 56/3 ----- Agora note: 56 não é divisível por "3", o que iria dar um número não inteiro para "n" e isso não pode ser. Se "n" é o número de termos, então, necessariamente, "n" terá que ser inteiro. Então descartaremos a hipótese de "r" ser igual a "3". 

iii.b) Para r = 7, teremos:

(n-1)*7 = 56
(n-1) = 56/7 ---------- note que 56/7 = 8 (número inteiro). Logo:
n-1 = 8
n = 8+1
n = 9 <---- Este será o número de termos da PA. Note que para r = 7 (que é um número inteiro e maior do que "1") encontramos um número inteiro para "n" (que  necessariamente teria que ser).

iv) Assim, como vimos que para r = 7 (que é um número inteiro e maior do que "1", exatamente como está no enunciado da questão) encontramos um número inteiro também para "n" (n = 9). Isto significa que a PA tem 9 termos, cujo primeiro termo "a₁" é igual a "17", cuja razão (r) é igual a "7" e cujo último termo (an) é igual a "73".
Agora vamos para o que está sendo pedido, que é: S = n + r . Assim:

S = n + r ---- substituindo-se "n" por "9" e "r" por "7", teremos:

S = 9 + 7

S = 16 <--- Esta é a resposta. Opção "e".


Bem, a resposta já está dada. Agora, apenas por mera curiosidade, vamos ver quais são todos esses 9 termos da PA da sua questão, valendo notar que tanto deverá haver o termo "38" como o termo "73", utilizando-se a razão r = 7. Assim, teríamos isto:

17; 24; 31; 38; 45; 52; 59; 66; 73 <--- Olha aí como é verdade.
. . . . . . . . . .↑ . . . . . . . . . . . . . . ↑

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.