Question

O primeiro termo da progressão geométrica em que a3=15 e a6=5/9 é igual a: ​

Answer 1

Temos as informações que numa PG (Progressão Geométrica) tem-se o terceiro termo a₃ = 15, e o sexto termo a₆ = 5/9. O objetivo é determinar o primeiro termo a₁.

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Primeiro devemos encontrar a razão q. Para isso, podemos assumir o terceiro termo como o primeiro, e como consequência teremos n = 4:

$\begin{array}{l}\\\sf (a_1,~a_2,~a_3,~a_4,~a_5,~a_6)~\to~\underbrace{\sf(a_3,~a_4,~a_5,~a_6)}_{\sf4~termos}\\\\\end{array}$

Assim, aplicando a fórmula do termo geral da PG:

$\begin{array}{l}\\\sf a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\\\\sf \dfrac{5}{9}=15\cdot q^{4-1}\\\\\sf \dfrac{5}{9}=15\cdot q^3\\\\\sf q^3=\dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{1}{15}\\\\\sf q^3=\dfrac{5}{135}\\\\\sf q^3=\dfrac{1}{27}\\\\\sf \sqrt[\sf3]{\sf q^3}=\sqrt[\sf3]{\sf\dfrac{1}{27}}\\\\\sf \sf q=\dfrac{1}{3}\\\\\end{array}$

obs.: temos 3 valores a q, um no conjunto dos números reais e dois no conjunto dos números complexos, porém somente o valor real nos importa.

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Agora basta voltar ao número de termos original, com n = 6:

$\begin{array}{l}\\\sf a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\\\\sf \dfrac{5}{9}=a_1\cdot \bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^{6-1}\\\\\sf\dfrac{5}{9}=a_1\cdot \bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^5\\\\\sf\dfrac{5}{9}=a_1\cdot \dfrac{1}{243}\\\\\sf a_1=\dfrac{5}{9}\cdot243\\\\\sf a_1=\dfrac{1215}{9}\\\\\!\boxed{\sf a_1=135}\\\\\end{array}$

Resposta: o primeiro termo é o 135.

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Att. Nasgovaskov

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