Question

O preço unitário de um produto é P reais e a demanda é X centenas de unidades, onde x^2 + 3px + p^2 = 79. Qual é a taxa de variação da demanda com o tempo (dx / dt) se p = 5 e está diminuindo à razão de 30 centavos por mês (dp / dt = 0,30)?

Answer 1

Seja a função,

x^2 +3px + p^2 = 79

Derivando implicitamente

2x.(dx/dt) + 3.(px)' + 2p.(dp/dt)=0

Use a derivada do produto em (px)'

(px)' = p'x+px'

= x+p

Logo,

2x.(dx/dt) + 3.(px)' + 2p.(dp/dt)=0

2x(dx/dt) +3(x+p)+2p(dp/dt)=0

Substituindo,

dx/dt = ?

Para p = 5

x^2 + 3px + p^2 = 79

x^2 + 15x + 25 = 79

x^2 + 15x -54 = 0

Resolvendo a equação de basckara,

Encontraremos:

x = 3
Ou
x = -18

Mas, como x = Quantidade

x = -18 nós descartamos

Logo, x = 3
____________

Temos que,

dp/dt = - 0,30 pois está diminuindo
__________

Então:

2x.(dx/dt) +3(x+p)+2p(dp/dt)=0

2(3).(dx/dt) + 3(3+5)+2(5).(-0,3) =0

6(dx/dt)+24 -3 =0

6(dx/dt)+21 = 0

6(dx/dt)=- 21

dx/dt = -21/6

dx/dt = -3,5