Question

O preço médio dos componentes de um eletrodoméstico aumenta conforme uma função exponencial. O preço médio inicial dos componentes é de $ 28,50, e a taxa percentual de aumento é de 4% ao mês.

a) Obtenha o preço médio P como função dos meses t após o momento em que foi calculado o preço inicial, isto é, P = f(t).

b) Calcule o preço médio dos componentes após 1, 5 e 10 meses do momento em que foi calculado o preço médio inicial.

c) Utilizando apenas a base da função, determine o aumento percentual em um ano.

d) Após quanto tempo o preço médio dos componentes duplicará? Após quanto tempo o preço médio quadruplicará? ​

Answer 1

Sendo R$28,50 o preço inicial, temos que um aumento de 4% ao mês será uma função do tipo P(t) = 28,5(1,04)^t, sendo t o tempo em meses.

b) Após 1, 5 e 10 meses, o preço médio é calculado substituindo t por estes valores:

P(1) = 28,5(1,04)¹

P(1) = R$29,64

P(5) = 28,5(1,04)⁵

P(5) = R$34,67

P(10) = 28,5(1,04)¹⁰

P(10) = R$42,19

c) O aumento percentual após um ano (t = 12) será:

i = 1,04¹² - 1

i = 0,601

i = 60,1%

d) Com o preço duplicado, temos que P(t) = 57, logo:

57 = 28,5(1,04)^t

2 = 1,04^t

log 2 = log 1,04^t

log 2= t.log 1,04

t = log 2/log 1,04

t = 17,67 meses

t = 18 meses

Com o preço quadruplicado, temos que P(t) = 104, logo:

104 = 28,5(1,04)^t

4 = 1,04^t

log 4 = log 1,04^t

log 4= t.log 1,04

t = log 4/log 1,04

t = 35,34 meses

t = 36 meses