Question

O preço de uma fábrica de um equipamento de informatica novo é igual a P reais. Seu preço, P, de mercado tem uma desvalorização media anual de 10% em relação ao preço do ano anterior. Após quantos anos, no mínimo, a contar da data de fabricação, seu preço de mercado será menor do que 10% do seu preço de fábrica? ( Dado: log 3 = 0,47)​

Answer 1

$n=16,67$ portanto serão necessários 17 anos

Neste exemplo temos uma aplicação parcida com a de juros composto.

Após n anos, o preço deste equipamento será dado pela seguinte equação:

$P_{futuro}=P_0(1+i)^n$

onde $\bf i$ é a taxa e $\bf P_0$ é o preço inicial.

Queremos saber quantos anos serão necessários para que o preço caia para dez porcento. Para isto será necessário substituir os valores em procura de n:

$10\%P=P(1-0,1)^n$

observe que fizemos 100% - 10% por que se trata de uma desvalorização.

$10\%P=P(0,9)^n$

cancelando os P:

$10\%=(0,9)^n$

Agora podemos aplicar o logarítmo na base 10 dos dois lados obtendo assim:

$Log(\dfrac{1}{10})=Log(\frac{9}{10})^n)$

Pela propriedade do logaritmo do expoente:

$Log(\frac{1}{10})=n\cdot Log(\frac{9}{10})$

e aplicando a propriedade do logaritmo d oquociente:

$Log(1)-Log(10)=n\cdot (Log(9)-Log(10))$

$n=\dfrac{Log(1)-Log(10)}{n\cdot (Log(9)-Log(10))}$

substituindo osvalores de Log...

$n=\dfrac{0-1}{n\cdot (0,94-1}$

$n=\dfrac{-1}{n\cdot (-0,06}$

$n=16,67$ portanto serão necessários 17 anos