Question

o pontos (x,2x), e equidistante dos pontos (3,0) e (-7,0) me ajude por favor

Answer 1

Vamos lá.

Veja que o termo equidistante quer dizer "que tem a mesma distância".
Então se o ponto A(x; 2x) é equidistante dos pontos B(3; 0) e C(-7; 0) é porque a distância de A a B é idêntica à distância de A a C.
Dessa forma, vamos encontrar essas duas distâncias e depois igualá-las, já que elas são iguais (equidistante = que dista igualmente).
Assim, teremos:


i) Distância (d) do ponto A(x; 2x) ao ponto B(3; 0):

d² = (3-x)² + (0-2x)² ---- desenvolvendo, teremos:
d² = 9-6x+x² + (-2x)² ---- continuando o desenvolvimento, teremos:
d² = 9 - 6x + x² + 4x² ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
d² = 5x² - 6x + 9      . (I)


ii) Distância (d) do ponto A(x; 2x) ao ponto C(-7; 0).

d² = (-7-x)² + (0-2x)² ------ desenvolvendo, teremos:
d² = 49+14x+x² + (-2x)² ---- continuando o desenvolvimento, teremos:
d² = 49 + 14x + x² + 4x² ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
d² = 5x² + 14x + 49    . (II)


iii) Agora, para encontrarmos o valor de "x", vamos igualar as expressões (I) e (II), já que elas são iguais, pois o ponto A é equidistante aos pontos B e C.
Assim, fazendo isso, teremos:

5x² - 6x + 9 = 5x² + 14x + 49 ------ passando tudo o que tem "x" para o 1º membro e o que não tem para o 2º, teremos:

5x² - 6x  - 5x² - 14x = 49 - 9 ---- reduzindo os termos semelhantes nos dois membros, ficaremos assim:

- 20x = 40 -------- multiplicando ambos os membros por "-1", ficaremos com:

20x = - 40
x = - 40/20
x = - 2 <---- Este é o valor de "x".


Assim, o ponto A(x; 2x) será o ponto (após substituirmos "x" por "-2"):

A(-2; -4) <--- Este é o ponto A, que é equidistante dos pontos B e C.


Deu pra entender bem?


OK?
Adjemir.

Answer 2

Ola!

De acordo com o enunciado acima podemos notar que:

• O ponto P (x, 2x) é $\textbf{equidistante} ^1$ dos pontos $A(3,0) \: e \: B(-7,0)$.

• Portanto, primeiro calcule a distância dos pontos P a A:

$d_{(P,A)} ^2 = (x_A - x_P )^2 + (y_A - y_P)^2 \\ d_{(P,A)} ^2 = (3-x)^2 + (0-2x)^2 \\ d_{(P,A)} ^2 = x^2 -6x + 9 + 4x^2 \\ d_{(P,A)} ^2 = 5x^2 -6x + 9$

• Em seguida, calcule a distância dos pontos P e B:
$d_{(P,B)} ^2 = (x_B - x_P )^2 + (y_B - y_P)^2 \\ d_{(P,B)} ^2 = (-7 - x)^2 + (0-2x)^2 \\ d_{(P,B)} ^2 = x^2 +14x + 49 + 4x^2 \\ d_{(P,B)} ^2 = 5x^2 +14x + 49$

Logo, se o ponto é equidistante as rectas:
$\sqrt{ d_{(P,A)} ^2 } = \sqrt{ d_{(P,B)} ^2 } \\ d_{(P,A)} = d_{(P,B)} \\ 5x^2 -6x + 9 = 5x^2 +14x + 49 \\ \cancel{5x^2} - 5\cancel{5x^2} -6x -14x = 49 -9 \\ -20x = 40 \\ x = - \frac{40}{20} \\ x = -2$

$\boxed{\maths{(-2, -4)} }$

• 1 - $\textbf{equidistante} ^1$ mesma medida.

Boa interpretação!!!