Question

O ponto (x, 3x) é equidistante dos pontos (3, 0) e (-7, 0) para:

a) x= +2
b) x = -4/3
c) x= -2
d) x= -5/2
e) x= -7/2

Answer 1

Temos que:

A = (x, 3x)
B = (3, 0)
C = (-7, 0)

d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]

Se os pontos são equidistantes, sabemos que:

d(AB) = d(AC)

√[(3 - x)² + (0 - 3x)²] = √[(-7 - x)² + (0 - 3x)²]

Elevando ambos os lados ao quadrado, tiraremos a raiz, logo:

(3 - x)² + (-3x)² = (-7 - x)² + (-3x)²

(3 - x)² = (-7 - x)²

Desenvolvendo o binômio, teremos que:

3² + 2.3(-x) + x² = (-7)² + 2(-7)(-x) + x²

9 - 6x + x² = 49 + 14x + x²

9 - 6x = 49 + 14x

9 - 49 = 14x + 6x

20x = -40

x = -40/20

x = -2

Resposta: Alternativa C.

Answer 2

Ola!

De acordo com o enunciado acima podemos notar que:

• O ponto P (x, 2x) é $\textbf{equidistante} ^1$ dos pontos $A(3,0) \: e \: B(-7,0)$.

• Portanto, primeiro calcule a distância dos pontos P a A:

$d_{(P,A)} ^2 = (x_A - x_P )^2 + (y_A - y_P)^2 \\ d_{(P,A)} ^2 = (3-x)^2 + (0-2x)^2 \\ d_{(P,A)} ^2 = x^2 -6x + 9 + 4x^2 \\ d_{(P,A)} ^2 = 5x^2 -6x + 9$

• Em seguida, calcule a distância dos pontos P e B:
$d_{(P,B)} ^2 = (x_B - x_P )^2 + (y_B - y_P)^2 \\ d_{(P,B)} ^2 = (-7 - x)^2 + (0-2x)^2 \\ d_{(P,B)} ^2 = x^2 +14x + 49 + 4x^2 \\ d_{(P,B)} ^2 = 5x^2 +14x + 49$

Logo, se o ponto é equidistante as rectas:
$\sqrt{ d_{(P,A)} ^2 } = \sqrt{ d_{(P,B)} ^2 } \\ d_{(P,A)} = d_{(P,B)} \\ 5x^2 -6x + 9 = 5x^2 +14x + 49 \\ \cancel{5x^2} - 5\cancel{5x^2} -6x -14x = 49 -9 \\ -20x = 40 \\ x = - \frac{40}{20} \\ x = -2$

• 1 - $\textbf{equidistante} ^1$ mesma medida.

Boa interpretação!!!