Question

O ponto p(x,0)e equidistante dos pontos a(-1,2) e b (1,4). Qual e o valor de x?

Answer 1

Os pontos equidistante a dois pontos pertencem a uma reta perpendicular a reta que passa pelo dois pontos e que passa pelo ponto médio desse dois pontos.

Vamos determinar o ponto médie entre A = (-1, 2) e B = (1, 4)

Xm = (Xa + Xb) / 2 = (-1 + 1) / 2 = 0 / 2 = 0
Ym = (Ya + Yb) / 2 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3

Portanto o ponto média é (0, 3)

Agora vamos determinar a inclinação da reta que passa por A e B

m = Δy / Δx = (Yb - Ya) / (Xb - Xa) = (4 - 2) / (1 - (-1)) = 2 / 2 = 1

Portanto, a reta que passa pelos ponto A e B possui inclinação m = 1. Uma reta perpendicular a essa reta, possui a seguinte inclinação

n = -1 / m = -1 / 1 = -1

Assim a reta perpendicular a reta que passa por A e B tem a seguinte equação

y = -x + b

Para determinar o valor de "b", vamos utilizar o fato de que o ponto médio (0, 3) entre A e B passa por essa reta, ou seja, as coordenadas do ponto médio satisfazem a equação da reta.

y = -x + b
3 = -0 + b
3 = b

Portanto a equação da reta que possui os pontos equidistantes de A e B é:

y = -x + b
y = -x + 3

Assim, podemos determinar u ponto P = (x, 0) equidistante de A e B, uma vez que esse ponto pertence a reta encontrada

y = -x + 3
0 = -x + 3
x = 3

Portanto, ponto P = (3, 0) é equidistante de A e B.