Question

O ponto P pertence ao segmento de extremidades A = (x1, y1) e B =
(x2, y2) e a sua distˆancia ao ponto A ´e a ter¸ca parte da distˆancia dele
ao ponto B. Expresse as coordenadas de P em fun¸c˜ao das coordenadas
de A e B.

Answer 1

Resposta:

P = ( (3x₁+x₂)/4 , (3y₁ + y₂)/4 )

Explicação:

Os pontos estão ordenados da seguinte forma:

A --- P --- --- --- B

Observe que a distancia entre B e P deve ser 3 vezes maior que a distância entre A e P. Assim, se M é o ponto médio de A e B temos

A --- P --- M ---  --- B

Ou seja, P é o ponto médio entre A e M. Agora ficou fácil de calcular suas coordenadas:

$M = \dfrac{A+B}2 = \dfrac{(x_1,y_1) + (x_2, y_2)}{2} = \left( \dfrac {x_1 + x_2}2, \dfrac {y_1 + y_2}2\right)$

$P = \dfrac{A + M}{2} = \dfrac{(x_1 + x_2) + \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)}{2} = \left( \dfrac{3x_1+x_2}{4}, \dfrac{3y_1 + y_2}{4}\right)$

Assim, a resposta é

P = ( (3x₁+x₂)/4 , (3y₁ + y₂)/4 )