Question

o ponto P pertence ao eixo Y e equidista de A(-1,1) e B(4,2). determine as coordenadas de P

Answer 1

Veja a figura em anexo. A reta mediatriz do segmento $\overline{AB}$ (em vermelho), contém todos os pontos equidistantes de $A$ e $B$. Esta reta intercepta o segmento $\overline{AB}$ em seu ponto médio $M\left(x_{_{M}},\,y_{_{M}} \right )$, e é ortogonal a este segmento (forma um ângulo de $90^{\circ}$).


1) Encontrar o ponto médio $M\left(x_{_{M}},\,y_{_{M}} \right )$ do segmento $\overline{AB}$:

As coordenadas do ponto médio são:

$x_{_{M}}=\dfrac{x_{_{A}}+x_{_{B}}}{2},\;\;\;y_{_{M}}=\dfrac{y_{_{A}}+y_{_{B}}}{2}\\ \\ x_{_{M}}=\dfrac{-1+4}{2},\;\;\;y_{_{M}}=\dfrac{1+2}{2}\\ \\ \boxed{x_{_{M}}=\dfrac{3}{2},\;\;\;y_{_{M}}=\dfrac{3}{2}}$


2) Encontrar a equação da reta mediatriz do segmento $\overline{AB}$:

O coeficiente angular $m$ do segmento $\overline{AB}$ é

$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_{_{B}}-y_{_{A}}}{x_{_{B}}-x_{_{A}}}\\ \\ m=\dfrac{2-1}{4-\left(-1 \right )}\\ \\ m=\dfrac{1}{4+1}\\ \\ \boxed{m=\dfrac{1}{5}}$


Como a reta mediatriz é ortogonal ao segmento $\overline{AB}$, então o coeficiente angular $m_{\perp}$ da mediatriz é o inverso negativo de $m$:

$m_{\perp}=-\dfrac{1}{m}\\ \\ m_{\perp}=-\dfrac{1}{\,^{1}\!\!\!\diagup\!\!_{5}}\\ \\ \boxed{m_{\perp}=-5}$


Enfim, a equação da reta mediatriz do segmento $\overline{AB}$, que passa pelo ponto médio $M\left(\,^{3}\!\!\!\diagup\!\!_{2},\,\,^{3}\!\!\!\diagup\!\!_{2} \right )$ e possui coeficiente angular $m_{\perp}=-5$ é

$y-y_{_{M}}=m_{\perp}\cdot \left(x-x_{_{M}} \right )\\ \\ y-\,^{3}\!\!\!\diagup\!\!_{2}=-5\left(x-\,^{3}\!\!\!\diagup\!\!_{2} \right )\\ \\ y-\,^{3}\!\!\!\diagup\!\!_{2}=-5x+\,^{15}\!\!\!\diagup\!\!_{2}\\ \\ y=-5x+\,^{15}\!\!\!\diagup\!\!_{2}+\,^{3}\!\!\!\diagup\!\!_{2}\\ \\ y=-5x+\,^{18}\!\!\!\diagup\!\!_{2}\\ \\ \boxed{y=-5x+9}$


Como o ponto $P\left(x_{_{P}},\,y_{_{P}} \right )$, pertence ao eixo $y$, então

$x_{_{P}}=0$


Substituindo as coordenadas de $P$ na equação da mediatriz, chegamos a

$y_{_{P}}=-5x_{_{P}}+9\\ \\ y_{_{P}}=-5\cdot \left(0 \right )+9\\ \\ \boxed{y_{_{P}}=9}$


O ponto procurado é $P\left(0,\,9 \right )$.