Question

O ponto P pertence ao eixo y e equidista de A(-1, 1) e B(4, 2). Determine as coordenadas de P.

Answer 1

Se um ponto $P\left(x_{_{P}},y_{_{P}} \right )$ é equidistante dos pontos $A\left(x_{_{A}},y_{_{A}} \right )$ e $B\left(x_{_{B}},y_{_{B}} \right )$, então o ponto $P$ pertence à reta mediatriz do segmento $\overline{AB}$.


A reta mediatriz a um segmento é a reta que é ortogonal a este segmento que passa pelo ponto médio deste segmento.


O ponto médio do segmento $\overline{AB}$ é o ponto $M\left(x_{_{M}},y_{_{M}} \right )$, onde

$M\left(x_{_{M}},y_{_{M}} \right ) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} x_{_{M}}=\dfrac{x_{_{A}}+x_{_{B}}}{2}\\ \\ y_{_{M}}=\dfrac{y_{_{A}}+y_{_{B}}}{2} \end{array} \right.$


O coeficiente angular $m$ do segmento $\overline{AB}$ é

$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_{_{B}}-y_{_{A}}}{x_{_{B}}-x_{_{A}}}$

(sujeito a $x_{_{B}} \neq x_{_{A}}$)


Conhecidas as coordenadas do ponto médio $M$, e o coeficiente angular do segmento $\overline{AB}$, a equação da reta mediatriz do segmento $\overline{AB}$ é

$y-y_{_{M}}=-\dfrac{1}{m}\cdot \left(x-x_{_{M}} \right )$

(sujeito a $m \neq 0$).


Para os pontos $A\left(-1,\,1 \right )$ e $B\left(4,\,2 \right )$, temos que as coordenadas do ponto médio $M$ são

$x_{_{M}}=\dfrac{-1+4}{2}\\ \\ x_{_{M}}=\dfrac{3}{2}\\ \\ \\ y_{_{M}}=\dfrac{1+2}{2}\\ \\ y_{_{M}}=\dfrac{3}{2}$


O coeficiente angular $m$ do segmento $\overline{AB}$ é

$m=\dfrac{2-1}{4-\left(-1 \right )}\\ \\ m=\dfrac{1}{4+1}\\ \\ m=\dfrac{1}{5}$


A equação da reta mediatriz do segmento $\overline{AB}$ é

$y-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{^{1}\!\!\diagup\!\!_{5}}\cdot \left(x-\dfrac{3}{2} \right )\\ \\ y-\dfrac{3}{2}=-5\cdot \left(x-\dfrac{3}{2} \right )\\ \\ y-\dfrac{3}{2}=-5x+\dfrac{15}{2}\\ \\ y=-5x+\dfrac{15}{2}+\dfrac{3}{2}\\ \\ y=-5x+\dfrac{15+3}{2}\\ \\ y=-5x+\dfrac{18}{2}\\ \\ y=-5x+9$


Como o ponto $P\left(0,y_{_P} \right )$ pertence ao eixo $y$ ($x_{_P}=0$), substituindo as coordenadas de $P$ na equação da mediatriz, temos

$y_{_{P}}=-5\cdot \left(0 \right )+9\\ \\ y_{_{P}}=0+9\\ \\ \boxed{y_{_{P}}=9}$


O ponto procurado é $P\left(0,\,9 \right )$