Question

O ponto P pertence ao eixo y e é equidistante dos pontos (-3,0) e (-5,4). Determine P.

Answer 1

Queremos encontrar as coordenadas de um ponto P(xP, yP) que pertence ao eixo das ordenadas (eixo Oy), e que seja equidistante dos pontos

A(- 3, 0) e B(- 5, 4).

=====

Como o ponto P pertence ao eixo Oy, sua abscissa é nula:

xP = 0

Logo, o ponto P é da forma P(0, yP).

=====

Vamos encontrar a equação da reta mediatriz do segmento AB. Esta é a reta que é perpendicular ao segmento AB, que passa pelo ponto médio de AB e contém todos os pontos equidistantes de A e B.

Calculando as coordenadas do ponto médio (xM, yM) de AB:

xM = (xA + xB)/2
xM = (- 3 - 5)/2
xM = (- 8)/2
xM = - 4

yM = (yA + yB)/2
yM = (0 + 4)/2
yM = 4/2
yM = 2

O ponto médio é (- 4, 2).

=====

Calculando o coeficiente angular do segmento AB:

mAB = (yB - yA)/(xB - xA)
mAB = (4 - 0)/(- 5 - (- 3))
mAB = (4 - 0)/(- 5 + 3)
mAB = 4/(- 2)
mAB = - 2

Como a reta mediatriz é perpendicular ao segmento AB, o coeficiente angular da mediatriz é o inverso negativo de mAB:

- 1/mAB = - 1/(- 2)
- 1/mAB = 1/2

=====

Equação da reta mediatriz de AB.

Reta que passa pelo ponto médio (- 4, 2), com coeficiente angular - 1/mAB = 1/2:

y - yM = (- 1/mAB) * (x - xM)
y - 2 = (1/2) * (x - (- 4))
y - 2 = (1/2) * (x + 4)
y - 2 = (1/2) * x + (1/2) * 4
y - 2 = (1/2) * x + 2
y = (1/2) * x + 2 + 2
y = (1/2) * x + 4 <----- equação da mediatriz de AB.

=====

Como o ponto P é equidistante de A e B, então as coordenadas de P devem satisfazer a equação da mediatriz.

Substituindo, temos que

yP = (1/2) * xP + 4
yP = (1/2) * 0 + 4
yP = 0 + 4
yP = 4 <----- ordenada do ponto P.

Portanto, o ponto procurado é P(0, 4).

Bons estudos! :-)