Question

O ponto P pertence a bissetriz do 1º quadrante do plano cartesiano. Determine as suas coordenadas, sabendo que ele dista 10 u.c. da origem.

Answer 1

se atentarmos que o ponto P está num dos vértices de um triângulo retângulo, podemos usar pitágoras:

a²=b²+c²

como os catetos b e c são iguais, temos:

a²=b²+b²
100=2b²
b²=50
b=$\sqrt{50}$

b=$5 \sqrt{2}$

As coordenadas do ponto P são ($5 \sqrt{2}$,$5 \sqrt{2}$)

Answer 2

Se o ponto está no 1° quadrante, sabemos que as coordenadas serão positivas.
Como este ponto pertence a bissetriz, ele está na reta com coef. angular de 45°, ou seja, bem no meio. 
Com a informação de que ele dista 10 da origem, temos a hipotenusa de um triangulo reto, em que o valor do cateto oposto ao ângulo é o valor de y ( da a altura do triângulo) e o cateto adjacente é o valor de x ( dá o comprimento do triângulo).

Assim, cos45°= x/10, com cos 45°= $\frac{ \sqrt{2} }{2}$

$x= 10\frac{ \sqrt{2} }{2}$
$x= 5 \sqrt{2}$ u.c.

Sendo sen45°=cos45°, y=x ( pode-se obter isso tbm observando a simetria do gráfico).

Assim, as coordenadas são: ($5 \sqrt{2} , 5 \sqrt{2}$)

Anexei um esquema pra ver melhor.

Espero ter ajudado.