Question

O ponto P(m, 1, n) pertece a reta que passa por A(3, −1, 4) e B(4, −3, −1). Determine P.

Answer 1

Para pertencer a reta, o vetor definido por P e qualquer outro ponto da reta (A e B, por exemplo) deve ser colinear com o vetor diretor da reta.

O vetor diretor da reta pode ser calculado por:

$\vec{v}=A-B\\\\\vec{v}=(3,-1,4)-(4,-3,-1)\\\\\vec{v}=(3-4~,~-1-(-3)~,~4-(-1))\\\\\boxed{\vec{v}=(-1,2,5)}$

Para utilizar a colinearidade, vamos utilizar o vetor entre P e A:

$\vec{w}=P-A\\\\\vec{w}=(m,1,n)-(3,-1,4)\\\\\vec{w}=(m-3~,~1-(-1)~,~n-4)\\\\\boxed{\vec{w}=(m-3~,~2~,~n-4)}$

Para serem colineares, deve haver um k ∈ R tal que  $\vec{v}=k.\vec{w}$, logo:

$(-1,2,5)=k.(m-3~,~2~,~n-4)\\\\Dessa~forma, ~podemos ~achar~3~equacoes:\\\rightarrow~~-1=k.(m-3)\\\\\rightarrow~~2=k.(2)\\\\\rightarrow~~5=k.(n-4)\\\\\\Pela~2^a~equacao,~achamos~k=1.\\Substituindo~k~nas~outras~duas~equacoes:\\\\-1=1.(m-3)\\\\-1=m-3\\\\m=-1+3\\\\\boxed{m=2}\\\\\\5=1.(n-4)\\\\5=n-4\\\\n=5+4\\\\\boxed{n=9}$

Resposta: P = (2 , 1 , 9)