Question

O ponto P(2, y, z) pertence à reta determinada por A(3, -1, 4) e B(4, -3, 1)

Answer 1

Bom vamos lá!

Primeiro devemos montar um vetor diretor da Reta, tendo dois pontos podemos fazer isso da seguinte forma;

AB = B - A = (4,-3,1)-(3,-1,4)
         B - A = 4-3,-3+1,1-4
        B - A = (1,-2,-3)

Portanto nosso vetor diretor da reta é o vetor AB=(1,-2,-3)

Agora montaremos a equação vetorial da reta, sabemos que ela precisa de um ponto e o vetor diretor, o ponto eu usei o A.

r:(x,y,z)=(3,-1,4)+t(1,-2,-3)

Transformando ela em equação paramétrica temos,

x=3+t
y=-1-2t
z=4-3t 

Substituindo os pontos em x,y,z


2=3+t
y=-1-2t
z=4-3t 

Agora resolvemos o sistema, podemos achar o t com a primeira equação, que resultara em -1

Substituindo t por menos 1 nas demais equações iremos achar os pontos y e z:

y=1-2x(-1) = y = 1

z=4-3x(-1) = z = 7

Portanto os valores de y e z são 1 e 7.

Answer 2

Resposta:

y = 1

z = 7

Explicação passo-a-passo:

Uma vez que temos as coordenadas X, Y e Z do ponto, devemos determinar inicialmente o vetor diretor da reta, utilizando os pontos A e B. Para isso, calculamos a diferença entre esses pontos:

$B-A=(4,-3,1)-(3,-1,4)=(1,-2,-3)$

Nesse momento, devemos montar a equação vetorial da reta, multiplicando o vetor diretor por "t" e somando um dos pontos. Nesse caso, temos:

$r(x,y,z)=t(1,-2,-3)+(4,-3,1)$

Agora, vamos transformar essa equação na paramétrica. Desse modo, podemos substituir as coordenadas do ponto P e determinar os valores de Y e Z no ponto P. Portanto:

$x=4+t\\ y=-3-2t\\ z=1-3t\\ \\ Substituindo \ ponto \ P:\\ \\ 2=4+t \rightarrow t=-2\\ y=-3-2\times (-2)=1\\ z=1-3t=1-3\times (-2)=7$

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