Question

o ponto do eixo dos y equidistante dos pontos A(1,2) e B(3,4) é:

Answer 1

Vamos lá.

Veja que é simples.
Se o ponto está no eixo dos "y" (eixo das ordenadas), então, nesse ponto, a abscissa é "0". Logo, esse ponto, que vamos chamar de P, terá as seguintes coordenadas: P(0; y).
Como ele é equidistante, ou seja tem a mesma distância para os pontos A(1; 2) e B(3; 4) , então vamos calcular a distância (d) de P(0; y) a A(1; 2) e a B(3; 4). Depois igualaremos as distâncias encontradas.
Agora vamos fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Distância (d) do ponto A(1; 2) a P(0; y). Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos, teremos:

d² = (0-1)² + (y-2)²
d² = (-1)² + (y²-4y+4)
d² = 1 + y² - 4y + 4 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
d² = y² - 4y + 5       . (I)

ii) Distância (d) do ponto B(3; 4) ao ponto P(0; y). Aplicando novamente a fórmula da distância entre dois pontos, teremos:

d² = (0-3)² + (y-4)²
d² = (-3)² + (y²-8y+16)
d² = 9 + y² - 8y + 16 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
d² = y² - 8y + 25    . (II)

iii) Agora, como as duas distâncias são iguais (pois o ponto P é equidistante dos pontos A e B), então vamos igualar as expressões (I) e (II) encontradas aí em cima. Assim:

y² - 4y + 5 = y² - 8y + 25 ----- passando todo o 2º membro para o 1º, ficaremos assim:

y² - 4y + 5 - y² + 8y - 25 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
4y - 20 = 0 ------ passando "-20" para o 2º membro, teremos:
4y = 20
y = 20/4
y = 5 <--- Este é o valor da ordenada "y", do ponto P(0; y). Dessa forma, o ponto P(0; y) terá as seguintes coordenadas (após substituirmos "y" por "5":

P(0; 5) <--- Esta é a resposta. Este é o ponto P procurado.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.