Question

O ponto crítico da função ƒ dada por ƒ(x,y) = 2x2 - 2y2 - 3x + 2y + xy é:

Answer 1

Vamos calcular a derivada parcial de x e y.

F(x,y) = 2x^2 -2y^2 -3x+2y+xy

df(x,y)/dx = 2.2x-0-3.1+0+1.y

= 4x -3 +y

Igualando a zero

4x -3+ y = 0


ou,

y = -4x+3
_________

Agora para y

df(x,y)/dy = 0 -2.2y-0+2.1+x.1

= -4y+2+x

Igualando a zero

0 = -4y+2+x

-2 = -4y+x

Ou,

2 = 4y - x

2 + x = 4y

y = (2+x)/4

y = 2/4 + x/4

y = 1/2 + x/4


Igualando y com y

-4x +3 = 1/2 + x/4

Multiplicando a eq por 4

4(-4x+3) = 4(1/2 + x/4)

-16x+4(3) = 4/2 + 4x/4

-16x +12 = 2 + x

-16x - x = 2-12

-17x = -10

x = 10/17

Logo,

y = -4x+3

y = -4(10/17)+3

y = 11/17

(x,y)=(10/17, 11/17)

Para saber se tal ponto corresponte ao ponto mínimo ou máximo.


Devemos calcular o determante 2×2 das derivadas parcias,


fxx ... fyx

fxy ... fyy


Onde, fxy = fyx

Nos temos fx e fy

Determinando fxx


Fx = 4x -3 y

Fxx = 4.1 + 0

= 4


Fy temos também

Fy = -4y+2+x

Fyy = -4.1 +0+0

= -4


Determinando fyx ou fxy


Fx = 4x+y

fxy = 0+1

= 1


Logo, o determinante será:


4 .... 1

1 .... -4


Resolvendo esse determinante,

4×(-4)- (1×1)

-16 -1

Det = -17



O que isso siginifica?

Se det < 0

Ponto critico sera de máximo.


Se det > 0

Ponto crítico será de mínino.

Det = 0 ?

Nenhuma conclusão a ser estabelecida.


Logo,

(x,y) = (10/17, 11/17)

É ponto crítico de máximo.

Answer 2

Resposta:

A resposta dada pela correção do ava foi (3/4, 1/2)

Explicação passo-a-passo: