Question

O ponto (3, -3) pertence a circunferência de equação x² + y² + 12x + 4y + k = 0. Determine o valor k.​

Answer 1

Resposta: Segue a resolução

Explicação passo a passo: Sabemos que a equação geral da circunferência é dado por:  $(x-x_{0}) ^{2} + ( y - y_0)^{2} = r^{2}$ . Logo, vamos completar o quadrado na equação, afim de obter a equação mostrada.

Sabemos que há: $( x + a ) = x^{2} + 2x + a^{2}$.

Logo: $x^{2} + y^{2} + 12x + 4y + k = x^{2} + 12x + y^{2} + 4y + k = x^{2} + 2.(6).x + 36 + y^{2} + 2.(2).y +4 + ( k - 36 - 4 ) = 0\\\\\text{Logo, temos que: } x^{2} + y^{2} + 12x + 4y + k = x^{2} + 2.(6).x + 36 + y^{2} + 2.(2).y +4 + ( k - 36 - 4 ) = 0$

Obs: Eu somei e subtrai 36 e 4 para completar o quadrado.

$x^{2} + 2. 6.x + 36 + y^{2} + 2.2.y + 4 + ( k - 36 - 4) = ( x + 6 )^2 + ( y + 2)^2 + (k- 36 - 4) =0\\\\\text{Logo, temos que : } \,\,\, ( x + 6 )^2 + ( y +2)^2 = (40 - k ) \\\\\text{ Aplicando o ponto : } \,\,\, ( 3 + 6 )^2 + ( -3 + 2 )^2 = ( 40 - k ) \,\, \to \,\, 81 + 1 = 40 - k \, \, \to \,\, 82 - 40 = - k \, \,\to \, k = - 42$

Já na questão 33.

$x^2 + y^2 - 2x - 4y + k = x^2 -2x + y^2 -4y + k = x^2 -2.(1).x + y^2 -2.(2).y + k = 0\\\\ x^2 -2.(1).x + y^2 -2.(2).y + k = x^2 -2.(1).x + 1 + y^2 -2.(2).y + 4 + (k -1 -4 ) = 0 \\\\x^2 -2.(1).x + 1 + y^2 -2.(2).y + 4 + (k -1 -4 ) = ( x - 1 )^2 + ( y - 2 )^2 = 5 - k$

Aplicando o ponto (3,-3), Temos que:

$( 3 - 1 ) ^2 + ( -3 - 2 ) ^2 = 4 + 25 = 29 = 5 - k \,\, \to \,\, k = - 24$