Question

O ponteiro dos minutos de um relógio mede 8mm, enquanto o das horas tem 4mm de comprimento, Quão rápido está variando a distância entre a ponta dos ponteiros à 1 hora?

Answer 1

ϕ=ângulo entre os ponteiros
x=distãncia entre os ponteiros
a=comprimento do ponteiro das horas=4 mm
b=comprimento do ponteiro dos minutos=8 mm

1 hora=ângulo entre os ponteiros=2π/12=π/6
ϕ=π/6

Velocidade angular:
ponteiro das horas -->2π/12 rad/h=2π/(12.60)=2π/720=π/360 rad/min
ponteiro dos minutos -->2π rad/h=2π/60=π/30rad/min
Velocidade de redução do ângulo ϕ -->dϕ/dt =π/360-π/30=(π-12π)/360=
=-11π/360=~-0,096

x²=(a²+b²-2abcosϕ) -->  Lei dos cossenos
2x.dx/dt= 2absenϕ.(dϕ/dt)
dx/dt= (2absenϕ/2x).(dϕ/dt)
dx/dt= (absenϕ/x).(dϕ/dt)
dx/dt= [(absenϕ)/√(a²+b²-2abcosϕ)].(dϕ/dt))

dx/dt= {[(4).(8).sen(π/6)]/√[(4)²+(8)²-2.(4).(8).cos(π/6)]}.-0,096
dx/dt= [(32.0,5)/√(16+64-64.0,866)].-0,096
dx/dt= [16/√(80-55,424)].-0,096
dx/dt= [16/√24,576].-0,096
dx/dt=~ -0,31 mm/min
ou
dx/dt=~ -0,31.60 mm/h
dx/dt=~ -18,6 mm/h