Question

O polinomio $x^{3}$ - 7$x^{2}$ + 16x - 12 tem: a) uma raiz com multiciplidade 3 b) uma raiz com multiciplidade 2 c) raizes reais distintas d) uma raiz complexa e) duas raizes complexas

Answer 1

Dado o polinômio p(x) = x³-7x²+16x-12
Precisamos usar achar a primeira raiz para podermos descobrir todas as outras pelo dispositivo prático de Briot-ruffini. Por meto de tentativa e erro, percebemos que -1, 0 nem 1 são raízes deste polinômio, mas quando fizermos p(2) teremos:

P(-1) = -36
P(0) = -12
P(1) = -2
P(2) = 8 - 7.4 + 16.2 - 12 = 0
P(2) = 40-40 = 0

Portanto, 2 é raíz do polinômio P(x). Agora é so aplicar Briot-Ruffini (como na imagem):

2 | 1 -7 16 -12 |
   | 1 -5  6  | 0  |
*perceba que o resto é zero, então 2 é realmente raiz de P(x)

A partir disto, obteremos o seguinte polinômio:

x²-5x+6=0

Aplicando bhaskara, teremos as seguintes raízes:

x' = 2 
x''= 3

*Note também que o 2 se repete duas vezes como raíz.
Com isso, concluimos que as raízes de P(x) são 2 e 3, então:

S={2, 3} - Alternativa A.

Perceba que na b ele diz "uma raiz com multiplicidade 2" sendo que são duas raízes, porém são iguais, por isso descartamos a b