Question

O polinômio $p(x)=x^{8}+x^{4}-2x^{2}$ possui:

a) zero e 1 como raízes duplas.
b) zero e 1 como raízes simples.
c) zero como raiz dupla e 1 como raiz simples.
d) zero como raiz simples e 1 como raiz dupla.

Answer 1

Vamos lá

Veja, Giovanne, que a resolução parece mais ou menos simples. 
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento. 

i) Pede-se para encontrar as raízes do seguinte polinômio:

P(x) = x⁸ + x⁴ - 2x² ----- para encontrar as raízes vamos igualar P(x) a "0". Assim, ficaremos com: 

x⁸ + x⁴ - 2x² = 0 ----- vamos colocar x² em evidência, com o que ficaremos:
x²*(x⁶ + x² - 2) = 0 ------ note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre um dos fatores é nulo. Assim, teremos as seguintes possibilidades:

ou 
x² = 0 ---> x = ± √(0) ---> x = ± 0 ---> x' = x'' = 0 <--- aqui temos uma raiz dupla igual a "0".

ou 
x⁶ + x² - 2 = 0 ----- aqui vamos fazer x² = y. Fazendo isso note que se x² = y, então x⁶ = y³ , concorda?. Então vamos ficar assim: 

y³ + y - 2 = 0 ---- agora vamos resolver esta equação do 3º grau em "y". Note que "1" é raiz, pois se você substituir o "y" por "1" vai zerar a função. Veja o que ocorre se você substituir o "x' por "1":

1³ + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 2 - 2 = 0 <--- Olha aí como é verdade, como "1" é realmente uma raiz. Então já temos que "1" é uma raiz da função acima [y³ + y - 2 = 0], ou seja, temos que:

y = 1

Mas lembre-se que fizemos x² = y. Então:


ii) Para y = 1, teremos: 

x² = 1 
x = ± √(1) ------- como √(1) = 1, teremos:
x = ± 1 ---- daqui você conclui que:

x''' = - 1
x'''' = 1

iv) Assim, resumindo, já vimos que as raízes poderão ser uma raiz dupla igual a "0" (vimos isso logo no início, quando fizemos x² = 0) e as outras duas raízes reais serão as que encontramos aí em cima, que são x''' = -1 e x'''' = 1. Ou seja, as raízes reais serão estas:


x' = x'' = 0; e x''' = -1 e x'''' = 1


Pelas alternativas de respostas colocadas, então a resposta será a opção "c" que informa isto:

"zero" como raiz dupla e "1" como raiz simples <--- Esta é a resposta. Opção "c". 

Note que acabei de editar a minha resposta graças a um "alerta" da Luana a quem agradeço. Mas ainda bem que a conclusão foi a mesma, ou seja, a equação dada tem quatro raízes reais, sendo o "0" como raiz dupla (x' = x'' = 0) e duas raízes simples, sendo uma igual a "-1" e outra igual a "1". Por isso é que a conclusão é a mesma dada pela opção "c" que diz: "zero" como raiz dupla e "1" como raiz simples.


É isso aí. 
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.