Question

O polinômio $p(x) = x^{3} +r x^{2} -sx - t$, no qual r, s e t são constantes estritamente positivas, tem uma raiz dupla e é divisível por $q(x) = x + 2.$
Nessas condições é correto afirmar que
A) 1 < r < 3
B) r > 3
C) s > 12
D) 0 < t < 4
E) 4 < t < 16

Answer 1

o polinomio tem uma raíz dupla
e é divisível por q(x)=x+2
se ele é divisivel por q(x) ..então a raíz do polinomio q(x) tambem é raíz do polinomio p(x)

q(x) = x+2
raíz = -2

logo a raíz dupla pode ser -2 ou pode ser z (um valor qualquer)

se a raíz dupla for z
p(x) será escrito como
$\boxed{p(x)=(x-z)^2*(x+2)}$

se a raíz dupla for -2
p(x) pode ser escrito como

$p(x) = (x-(-2))^2*(x-z)\\\\\ \boxed{p(x)=(x+2)^2*(x-z)}$

vou partir da afirmação que -2 é a raíz dupla 
então

$p(x)=(x+2)^2*(x-z)\\\\ p(x)=(x^2+4x+4)*(x-z)\\\\\boxed{p(x)=x^3 +(4-z)x^2 + (4-4z)x -4z}$

comparando com 
$p(x)=x^3+rx^2-sx-t$

temos
$\Bmatrix{4-z = r\\\\4-4z=-s\\\\-4z=-t}\end$


como r é positivo
4-z > 0 
z< 4

como s é positivo
4-4z = -s
4z-4 = s

4z-4 > 0
z>1

como t é positivo
z>0

temos $\boxed{\boxed{1\ \textless \ z\ \textless \ 4}}$

agora analisando  os coeficientes
4-z = r
z = 4-r

mas 1<z<4
logo
1<4-r<4

então
1<4-r
r< 3

4-r < 4
r >0

ficando com  0<r<3

repetindo o processo pro s
4z-4 = s
z = (s+4)/4 

1 < (s+4)/4 < 4

chegando em .. 0<s <12

para o t
4z=t
z = t/4

1<t/4 < 4

4<t<16 -> alternativa E