Question

O polinômio p(x)=x4+ax³+bx²+cx-8, em que a,b, c são números reais, tem o número complexo 1+i como raiz, bem como duas raízes simétricas.

a) Determine a,b,c e as raízes de p(x).

b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) e determine todos os polinômios com coeficientes reais, de menor grau, que possuam esses novos valores como raízes.

Answer 1

a) A fim de sabermos quanto valem a, b, c e as raízes de p(x), calculemos da seguinte forma:

Sendo 1 + i, 1 - i, α e -α forem raízes do polínômio p(x) = x⁴ + ax³ + Bx² +cx -8, com coeficientes reais, logo:
(1 +i)(1 - i) . α . (-α) = -8 ⇔ 2α² = 8 ⇔ α² = 4 ⇔ α = +-2

O polinômio na forma fatorada é:
p(x) = 1.(x-2)(x+2)(x-1+i)(x-1-i) ⇔ p(x) = (x²-4)(x²-2x+2) ⇔
⇔ p(x) + x⁴-2x³-2x²+8x-8

Portanto, a = -2, b=-2, c=8 e as raízes são: 1+i, 1-i, 2 e -2.



b) (P(x)) tem raízes i, -i, 1 e -3, assim:
P(x) = k(x-i)(x+i)(x-1)(x+3), ∀k ∈ R* ⇔ 
⇔ P(x) = k(x²+1)(x²+2x-3), ∀k ∈ R* ⇔
⇔ P(x) = k(x⁴+2x³-2x²+2x-3), ∀k ∈ R*