Question

O polinômio p(x) = x3 – x2 + x + a é divisível por x – 1. Ache todas as raízes complexas de p(x).

Answer 1

Se P é divisível por x-1, 1 é uma raiz de P. Assim fazendo P(1) = 0 temos:
               1³ - 1² + 1 + a = 0
               a + 1 = 0
               a = -1
Logo P(x) = x³ - x² + x - 1
Usando Briot-Ruffini para dividir P(x) por x -1, temos:

_________1_____-1_____1_____-1________
      1              1          0          1            0        
que resulta em: x² + 1, achando suas raizes temos:

$x^{2} +1 = 0 \\ x = \left \{ {x = { \sqrt{-1} } \atop {ou x= - \sqrt{-1} }} \right.$

Logo, as raizes complexas de P são {i, -i, 1}

Answer 2

As raízes complexas de p(x) são 1, -i e i.

Se o polinômio p(x) = x³ - x² + x + a é divisível por x - 1, então x = 1 é uma raiz.

Substituindo o valor de x por 1, obtemos o valor de a:

1³ - 1² + 1 + a = 0

1 - 1 + 1 + a = 0

a = -1.

Assim, o polinômio é igual a p(x) = x³ - x² + x - 1.

Vamos utilizar o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini para abaixar o grau do polinômio p:

1 | 1   -1   1   -1

 | 1    0  1    0.

Logo, podemos escrever o polinômio p da seguinte maneira: p(x) = (x - 1)(x² + 1).

Para encontrarmos as outras raízes, vamos resolver a equação x² + 1 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau incompleta. Sendo assim:

x² = -1

x = ±√-1.

No conjunto dos números complexos, temos que -1 = i². Portanto, as raízes complexas são:

x = ±√i²

x = ±i.

Para mais informações sobre polinômio: https://brainly.com.br/tarefa/19435122