Question

O polinomio P(x)= X³+Mx²+Nx+12 é tal que P(x)=0 admite as raízes x1,x2 e x3. Se x1.x2=-3 e x2+x3=5, então é correto afirmar que:

a) P(m)= 0
b)M-N= -13
c)M.N= 20
d)N-2m= -7

Answer 1

É correto afirmar que n - 2m = -7.

Dado um polinômio da forma ax³ + bx² + cx + d, sendo x₁, x₂ e x₃ suas raízes, é verdade que:

• x₁ + x₂ + x₃ = -b/a
• x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₂.x₃ = c/a
• x₁.x₂.x₃ = -d/a.

Do polinômio p(x) = x³ + mx² + nx + 12, temos que a = 1, b = m, c = n e d = 12.

Sendo assim, temos que:

• x₁ + x₂ + x₃ = -m
• x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₂.x₃ = n
• x₁.x₂.x₃ = -12.

Como x₁.x₂ = -3, então podemos afirmar que:

-3x₃ = -12

x₃ = 4.

Além disso, temos que x₂ + x₃ = 5. Logo:

x₂ + 4 = 5

x₂ = 1.

Temos também que:

x₁.1.4 = -12

x₁ = -3.

Com os valores encontrados, podemos afirmar que os valores de m e n são:

-3 + 1 + 4 = -m

m = -2

e

(-3).1 + (-3).4 + 1.4 = n

n = -11.

Ou seja, o polinômio é P(x) = x³ - 2x² - 11x + 12.

Vamos analisar cada afirmativa:

a) O valor de P(-2) é igual a:

P(-2) = (-2)³ - 2.(-2)² - 11.(-2) + 12

P(-2) = -8 - 8 + 22 + 12

P(-2) = 18.

Falsa.

b) O valor de m - n é igual a:

m - n = -2 - (-11)

m - n = -2 + 11

m - n = 9.

Falsa.

c) O valor de m.n é igual a:

m.n = (-2).(-11)

m.n = 22.

Falsa.

d) O valor de n - 2m é igual a:

n - 2m = -11 - 2.(-2)

n - 2m = -11 + 4

n - 2m = -7.

Verdadeira.