O polinômio P(x) = x3
+ ax2
+ bx + c, em que a, b e
c são números reais, admite 1, 2 e (–3) como
raízes. Baseado nessas informações, julgue os
itens a seguir em certo (C) ou errado (E).
1. (C) (E) a + b + c = 1.
2. (C) (E) O resto da divisão de P(x) por (x + 1) é
igual a 12.
3. (C) (E) O quociente da divisão de P(x) por (x +
1) é q(x) = x2
– x – 6.
4. (C) (E) O quociente da divisão de P(x) por x +
3 é q(x) = x2
– 3x + 2.
Soluções para a tarefa
A sequência correta será E, C, C, E.
Substituindo as raízes do polinômio na sua equação, sabendo que as raízes são os pontos em que y = P(x) = 0, podemos calcular quais são os valores de a, b e c.
P(x) = x³ + ax² + bx + c
0 = 1³ + a*1² + b*1 + c (para x=1)
a + b + c = -1
4a + 2b + c = -8 (para x = 2)
9a - 3b + c = 27 (para x = -3)
Resolvendo o sistema podemos concluir que:
a = 0 | b = -7 | c = 6
P(x) = x³ -7x + 6
Agora, vamos avaliar os itens:
1. Errado (E)
a + b + c = 0 -7 + 6 = -1
2. Correto (C)
x³ -7x + 6 / (x + 1)
-x³ - x² x² - x - 6 = quociente
------------
- x² -7x + 6
x² + x
----------------
- 6x + 6
6x + 6
-------------
12 = Resto
3. Correto (C)
O quociente foi calculado acima, Q = x² - x - 6.
4. Errado (E)
O quociente é igual a Q = x² - x - 6
Espero ter ajudado!