Question

O polinomio p(x)= x3-5x2-52x+224 tem três raízes inteiras. Se a primeira delas é o dobro da terceira e a soma da primeira com a segunda é -1. Encontre as raízes desse polinomio.

Answer 1

Israel,

Muito mais prático, fácil e rápido e resolver por fatoração

Fatorando, temos
                                  (x - 8)(x + 7)(x - 4) = 0

Cada fator deve ser nulo
                                          x - 8 = 0
                                                           x1 = 8
                                          x + 7 = 0
                                                           x2 = - 7
                                          x - 4 = 0
                                                           x3 = 4
      x1 = 2.x3   OK
      x1 + x2 = 8 + (- 7) = 1 (NÃO - 1)

Answer 2

O polinomio p(x)= x3-5x2-52x+224 tem três raízes inteiras. Se a primeira delas é o dobro da terceira e a soma da primeira com a segunda é -1. Encontre as raízes desse polinomio.
1º(PRIMEIRO) encontrar a PRIMEIRA raiz
Fazemos MDC ( Maior Divisor Comum ) de 224

MDC(224) = + - {1,2,4,7,8,14,16,28,32,56,112,224} TESTAR
testar TODOS
(+ - 1, 2) NÃO é

(4) testar 
x³ - 5x² - 52x + 224  = 0 
(4)³ - 5(4)² - 52(4) + 224 = 0
+ 64  - 5(16) - 208  + 224 = 0
+ 64   - 80     - 228 + 224 = 0
+ 64 + 224 - 80 - 208 = 0
        + 288 - 288 = 0
                       0 = 0    ENTÃO é o (4)
assim
PRIMEIRA raiz = 4
x' = 4 


. Encontre asraízes desse polinomio
Se a primeira delas é o dobro da terceira e
lambrando que:
x' = 4

x' = 2(x"')
4 = 2(x'")
4 = 2x'"     mesmo que:
2x'" = 4
x'" = 4/2
x'" = 2
a soma da primeira com a segunda é -1. 
lembrando que
x' = 4
x' + x" = - 1
4 + x" = - 1
x" = - 1 - 4
x" = - 5

ASSIMM
as três raizes são:
x' = 4
x" = - 5
x'" = 2


METODO Briot-Rufinni
(4) testar 
x³ - 5x² - 52x + 224  = 0 
(4)³ - 5(4)² - 52(4) + 224 = 0
+ 64  - 5(16) - 208  + 224 = 0
+ 64   - 80     - 228 + 224 = 0
+ 64 + 224 - 80 - 208 = 0
        + 288 - 288 = 0
RAIZ = 4


 
                       x³ - 5x² - 52x + 224  = 0 
                      | x³ - 5x² - 52x |  
    ---------------|-------------------|---------
               x³    | 1   - 5   - 52   |  224    ( linha do (x³)
               4     | ↓     4      -4    |-224 
  -----------------|-------------------|---------
               x²    |  1    -1  - 56    |   0      ( linha do(x²))
                        1x² - 1x - 56   = 0

1x² - 1x - 56 = 0
a = 1
b = - 1
c = - 56
Δ = b² - 4ac    ( delta)
Δ = (-1)² - 4(1)(-56)
Δ = + 1 + 224
Δ  = + 225 --------------------------------> √Δ = 15  ( porque √225 = 15)
se
Δ > 0 ( DUAS raizes DIFERENTES)
(Baskara)
       - b + - √Δ
x = ------------------------  
              2a

x' = - (-1) - √225/2(1)
x' = + 1 -  15/2
x' = - 14/2
x' = - 7
e
x" = -(-1) + √225/2(1)
x" = + 1 + 15/2
x" = 16/2
x" = 8

assim
as 3 raizes SÃO:
X' = - 7
x" = 8
x = 4  ( primeira)  ESSAS são as RAIZES ( corretos)