Question

O polinômio P(x) = x² + 4x + 3, quando decomposto, corresponde a:
a) P(x) = (x - 2) ∙ (x + 3)
b) P(x) = (x + 1) ∙ (x - 5)
c) P(x) = (x + 1) ∙ (x + 3)
d) P(x) = (x - 1) ∙ (x + 5)

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

De acordo com o Teorema da decomposição, temos que:

$\boxed{P(x) = a_n.(x - r_1).(x - r_2)....(x - r _n)}$

Esse teorema nos diz que podemos dispor um polinômio dessa forma ↑, onde o An simboliza o coeficiente do termo de maior grau e certamente r1, r2 simbolizam as raízes. Sabendo da parte teórica, vamos a parte prática.

Para você dispor esse polinômio daquela forma temos várias maneiras de fazer tal cálculo.

Primeira maneira:

• Resolve a equação do segundo grau através de Delta e Bháskara, descobre as raízes e no final dispõe as raízes daquela forma;

Segunda maneira:

• Resolve a equação do segundo grau através das relações de Girard, descobre as raízes e no final dispõe as raízes daquela forma;

Terceira maneira:

• Fatorar através dos conhecimentos de produtos notáveis.

Vamos fazer através do método e encontrar as raízes com Delta e Bháskara:

I) Coeficientes:

$\begin{cases} x {}^{2} + 4x + 3 =0 \\ a = 1 \\ b = 4 \\ c = 3\end{cases}$

II) Delta:

$\boxed{\Delta = b {}^{2} - 4.a.c} \\ \Delta = (4) {}^{2} - 4.1.3 \\ \Delta = 16 - 12 \\ \Delta = 4$

III) Bháskara:

$\boxed{x = \frac{ - b \pm \sqrt{\Delta} }{2.a} } \\ \\ x = \frac{ - 4 \pm \sqrt{4} }{2.1} \\ \\ x = \frac{ - 4 \pm2}{2} \longrightarrow \begin{cases}x_1 = \frac{ - 4 + 2}{2} \\ x _1 = \frac{ - 2}{2} \\ \red{ x_1 = - 1}\\ \\ x_2 = \frac{ - 4 - 2}{2} \\ x_2 = \frac{ - 6}{2} \\ \red{x_2 = - 3} \end{cases}$

Temos então que as raízes são:

$\begin{cases}r_1 = - 1 \\ r_2 = - 3 \end{cases}$

Substituindo no Teorema da decomposição:

$P(x) = a_n.(x - r_1)...(x - r_n)$

•O valor de An nesse caso vai ser "1", pois o nosso termo de maior grau é x² que possui o coeficiente "1".

•E os "r's" serão as duas raízes que encontramos.

Substituindo:

$P(x) = 1.(x - ( - 1)).(x - ( - 3) \\ \Large\red{\boxed{ P(x) = (x + 1).(x + 3)}}$

RESPOSTA: Letra c)

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️