Question

o polinômio P(x) = x^4 - 3x³ - 2x² + 12x + m tem uma raiz dupla x=2; as outras raízes estão no conjunto:

a) {-1, 3,2}
b) {1,0,3}
c) {1,2,1}
d) {1,3,-2}
e) {-2,2,3}

Answer 1

Um polinômio pode ser escrito em função de suas raízes

$P(x)=a\cdot(x-\alpha_{1})\cdot(x-\alpha_{2})\cdot...\cdot(x-\alpha_{n})$

Onde α₁, α₂, ..., αn são as 'n' raízes (não necessariamente distintas) desse polinômio, e 'a' é um coeficiente real qualquer
____________________

$P(x)=x^{4}-3x^{3}-2x^{2}+12x+m$

Como x = 2 e x = 2 são raízes de P(x), sabemos que (x - 2)(x - 2) aparece na fatoração de P. Portanto, se dividirmos P(x) por (x - 2), devemos encontrar resto nulo

Dividindo P(x) por x - 2 pelo Algoritmo de Briot-Ruffini, temos

$Q(x)=x^{3}-x^{2}-4x+4\\R(x)=m+8$

Como P(x) é divisível por x - 2 (já que x - 2 aparece na fatoração de P), devemos ter que R(x) = 0

$R(x)=0~~~\therefore~~~m+8=0~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{m=-8}}$

(Isso não era necessário)
________________________

Q(x) é um polinômio do terceiro grau e possui x - 2 em sua fatoração (pois apenas um dos dois foram eliminados na primeira divisão), então podemos dividir Q(x) por x - 2, encontrando

$Q'(x)=x^{2}+x-2$

As raízes de Q'(x) são as raízes restantes de P(x), já que

$P(x)=(x-2)^{2}\cdot Q'(x)$

Então, encontrando as raízes de Q'(x), resolvemos o exercício

$x^{2}+x-2=0$

Por soma e produto, temos

$S=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{1}=-1\\\\\\P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-2}{1}=-2$

As raízes de Q' são dois números que somam - 1 e tem produto - 2

Esses números são -2 e 1. Portanto, a resposta é a letra D

Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo: