Question

o polinomio p(x) = x^4 - 2x^3+ 5x^2 - 8x +4 também pode ser escrito sob a forma: p(x) = (x-1)^n(x^2 + s) , n e IN S e IR, o valor de n +s é :

a-1
b-4
c-0
d-6
e-2

Answer 1

Resposta:

letra d) 6

Explicação passo-a-passo:

Temos que fatorar  p(x) = x⁴ - 2x³ + 5x² - 8x + 4

Reagrupando os termos, com os expoentes ímpares e pares, temos:

                                p(x) = -2x³ - 8x + (x⁴ + 5x² + 4)

Vamos fazer por partes.

Vamos fatorar o (-2x³ - 8x).

    - coloque  -2x  em evidência

                                 -2x (x² + 4)

Vamos fatorar agora o  (x⁴ + 5x² + 4).

    - reescreva o x⁴ como (x²)²

                                 (x²)² + 5x² + 4

    - seja u = x². Substitua o u para todos os x².

                                u² + 5u + 4

    - fatorar o u² + 5u + 4. Encontre um par de números inteiros cuja

      soma é 5 e cujo produto é 4. Esses números são 1 e 4. Substitua

      no 5u.

                                u² + u + 4u + 4

    - no (u² + u), coloque o u  em evidência, e no (4u + 4), coloque o 4

      em evidência.

                                u (u + 1) + 4 (u + 1)

    - coloque o (u + 1) em evidência.

                                (u + 1) . (u + 4)

    - substitua o u  por x².

                                (x² + 1) (x² + 4)

    - reagrupe a expressão.

                                -2x (x² + 4) + (x² + 1) (x² + 4)

    - coloque o (x² + 4) em evidência.

                                 (x² + 4) (-2x + (x² + 1))

                                 (x² + 4) (-2x + x² + 1)

                                 (x² + 4) (x² - 2x + 1)

Vamos fatorar o  (x² - 2x + 1)

    - reescreva o 1 como 1²

                                 x² - 2x + 1²

    - fatore utilizando o trinômio quadrado perfeito a² - 2ab + b² =

      (a - b)², onde  a = x  e  b = -1.

                                (x - 1)²

Daí, a fatoração de x⁴ - 2x³ + 5x² - 8x + 4  é  (x² + 4) (x - 1)²

Temos que  $p(x) = (x-1)^{n}.(x^{2}  +s)$. Então:

n = 2  e  s = 4  -->  n + s = 2 + 4 = 6

Alternativa d) 6