Question

o polinômio p(x) = x^{2} + ax + b, que passa pelos pontos (-1, 5) e (2, -4), apresenta:
a) uma raiz nula e uma simples
b)duas raizes nulas
c)duas raizes iguais e diferentes de zero

Answer 1

$p(x)=x^2+ax+b\\\\y=x^2+ax+b$



passa pelos pontos
$g=(-1 ;5)\\\\h=(2;-4)$

g, h é só um nome q eu dei pros pontos pra não se perder rs...
um ponto é dado na coordenada (x,y) certo?

então $g=(-1;5)$
isso quer dizer que quando x=-1 .. y será = 5

substituindo os valores na função temos

$y=x^2+ax+b\\\\5=(-1)^2 + a*(-1) + b\\\\5=1-a+b\\\\5-1=-a+b\\\\\boxed{4=-a+b}$

essa é a primeira equação encontrada
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agora utilizando o ponto $h=(2;-4)$
quando x =2 y =-4

$y=x^2+ax+b\\\\-4=(2)^2+a(2)+b\\\\-4=4+2a+b\\\\-4-4=2a+b\\\\-8=2a+b\\\\ \frac{-8}{2} =a+b\\\\\boxed{-4=a+b}$

essa é a segunda equação 

..temos um sistema de equaçoes
$\left \{ {{4=-a+b} \atop {-4=a+b}} \right.$

pode-se perceber que se vc somar a primeira equação com a segunda
vc tera (-a +a ) = 0
então só vai restar o b..e vc poderá descobrir o valor dele

somando as duas equações:
$4=-a+b\\\\-4=a+b\\\\(4+(-4)) = (-a+a) + (b+b)\\\\0=0+2b\\\\0=2b\\\\ \frac{0}{2}=b\\\\\boxed{b=0}$

ja descobrimos o valor de B...agora pra encontrar o valor de A é só substituir B por 0
na primeira ou na segunda equação
vou substituir na segunda
$-4=a+b\\\\-4=a+0\\\\\boxed{-4=a}$
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substituindo o valor de A e de B no polinomio p(x)
$p(x)=x^2+ax+b\\\\p(x)=x^2-4x+0\\\\\boxed{p(x)=x^2-4x}$

agora é só encontrar as raízes..
poderia utilizar bhaskara ..mas podemos ver que como os 2 termos dependem de x
uma das raízes é 0 ..e a outra será 4

raízes
$x'=0\\\\x''=4$

então a alternativa certa é:
a) uma raiz nula e uma simples